СОПРЯЖЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО УГЛОВ: ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Эти углы конъюгаты являются те , добавлен к результатам , чтобы быть 360, независимо от указанных углов являются смежными или нет. На рисунке 1 показаны два сопряженных угла, обозначенных α и β.

В этом случае углы α и β на рисунке имеют общую вершину и их стороны общие, поэтому они смежные. Отношения между ними выражаются следующим образом:

α + β = 360º

Рис. 1. Два сопряженных центральных угла, сумма. Источник: Wikimedia Commons. Машиночитаемый автор не предоставлен. Предположительно Тьяго Р. Рамос (на основании заявлений об авторских правах). Классификация углов по их сумме. Другие важные определения включают дополнительные углы, сумма которых составляет 90 °, и дополнительные углы, общая сумма которых составляет 180 °.

С другой стороны, давайте теперь рассмотрим две параллельные линии, разрезанные секущей, расположение которых показано ниже:

Рисунок 2. Параллельные линии, разрезанные секущей. Источник: Ф. Сапата.

Прямые MN и PQ параллельны, а прямая RS - секущая, пересекая параллели в двух точках. Как видно, эта конфигурация определяет образование 8 углов, которые были обозначены строчными буквами.

Итак, согласно определению, данному в начале, углы a, b, c и d сопряжены. И точно так же e, f, g и h, поскольку оба случая верны:

a + b + c + d = 360º

И

e + f + g + h = 360º

Для этой конфигурации два угла сопряжены, если они находятся на одной стороне по отношению к секущей линии RS, и оба являются внутренними или внешними. В первом случае мы говорим о внутренних сопряженных углах, а во втором - о внешних сопряженных углах.

Примеры

На рисунке 2 внешние углы - это те, которые находятся за пределами области, ограниченной линиями MN и PQ, это углы A, B, G и H. В то время как углы, которые находятся между двумя линиями, равны C, D, E и F.

Теперь необходимо проанализировать, какие углы находятся слева, а какие справа от секущей.

Слева от RS расположены углы A, C, E и G. А справа - углы B, D, F и H.

Сразу приступим к определению пар сопряженных углов согласно определению, данному в предыдущем разделе:

-A и G, внешние и слева от RS.

-D и F, внутренние и справа от RS.

-B и H, внешние и справа от RS.

-C и E, внутренние и слева от RS.

Свойство сопряженных углов между параллельными линиями

Сопряженные углы между параллельными прямыми являются дополнительными, то есть их сумма равна 180º. Таким образом, для рисунка 2 верно следующее:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Пары соответствующих углов для параллельных прямых

Это те, которые находятся по одну сторону от секущей линии, они не смежные, и одна из них внутренняя, а другая внешняя. Их важно визуализировать, так как их размер одинаков, потому что они находятся под противоположными углами при вершине.

Возвращаясь к рисунку 2, соответствующие пары углов обозначены как:

-А и Е

-C и G

-B и F

-D и H

Внутренние углы четырехугольника

Четырехугольники - это четырехсторонние многоугольники, среди которых, например, квадрат, прямоугольник, трапеция, параллелограмм и ромб. Независимо от их формы, в любом из них действительно сумма их внутренних углов равна 360º, поэтому они соответствуют определению, данному в начале.

Давайте посмотрим на несколько примеров четырехугольников и посмотрим, как вычислить значение их внутренних углов в соответствии с информацией в предыдущих разделах:

Примеры

а) Три из углов четырехугольника: 75º, 110º и 70º. Насколько велик оставшийся угол?

б) Найдите значение угла ∠Q на рис. 3 i.

c) Вычислите угол ∠A на рисунке 3 ii.

Решение для

Пусть α будет отсутствующим углом, выполняется следующее:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Решение б

На рисунке 3i показана трапеция, два внутренних угла которой являются прямыми и отмечены цветными квадратами по углам. Для этого четырехугольника проверяется следующее:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Таким образом:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Решение c

Четырехугольник на рис. 3 ii также является трапецией, для которой справедливо следующее:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Таким образом:

4х -5 + 3х + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

х = (180-5) / 7

х = 25

Чтобы определить угол, запрошенный в заявлении, мы используем, что ∠A = 4x - 5. Подставляя ранее вычисленное значение x, получаем, что ∠A = (4 × 25) -5 = 95º.

упражнения

- Упражнение 1

Зная, что один из показанных углов равен 125º, найдите размеры 7 оставшихся углов на следующем рисунке и обоснуйте ответы.

Рисунок 4. Линии и углы упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Угол 6 и угол 125 ° являются внутренними сопряженными, сумма которых равна 180 °, согласно свойству сопряженных углов, поэтому:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

С другой стороны, 6 и ∠8 - противоположные углы при вершине, мера которых одинакова. Следовательно, 8 измеряет 55º.

Угол ∠1 также противоположен вершине в 125º, тогда мы можем утверждать, что ∠1 = 125º. Также можно апеллировать к тому, что соответствующие пары углов имеют одинаковую меру. На рисунке это следующие углы:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Упражнение 2.

Найдите значение x на следующем рисунке и значения всех углов:

Рисунок 5. Линии и углы для упражнения 2. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Поскольку это соответствующие пары, отсюда следует, что F = 73º. С другой стороны, сумма сопряженных пар равна 180º, поэтому:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Наконец, значение x:

х = 87/3 = 29

Что касается всех углов, они перечислены на следующем рисунке:

Рис. 6. Углы, полученные в результате упражнения 2. Источник: Ф. Сапата.

Ссылки

1. Угловые группы. Дополнительные, дополнительные и дополнительные объяснения углов. Получено с: thisiget.com/
2. Балдор А. 1983. Геометрия на плоскости и в пространстве и тригонометрия. Культурная группа "Патрия".
3. Корраль М. Математика LibreTexts: углы. Получено с: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Классификация и построение углов по их измерению. Получено с: mathemania.com/
5. Вентворт, Г. Плоская геометрия. Получено с: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Сопряженные углы. Получено с: es.wikipedia.org.