ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ: КАКИЕ И КАК РАССЧИТЫВАЮТСЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Два или более угла являются дополнительными углами, если сумма их размеров соответствует сумме прямого угла. Как известно, размер прямого угла в градусах равен 90º, а в радианах - π / 2.

Например, два угла, примыкающие к гипотенузе прямоугольного треугольника, дополняют друг друга, поскольку сумма их мер равна 90º. В этом отношении очень показателен следующий рисунок:

Рис. 1. Слева несколько углов с общей вершиной. Справа - угол 60º, дополняющий угол α (альфа). Источник: Ф. Сапата.

Всего на рисунке 1 показано четыре угла. α и β дополняют друг друга, так как они смежны и их сумма составляет прямой угол. Аналогично β дополняет γ, из чего следует, что γ и α имеют одинаковую меру.

Теперь, поскольку сумма α и δ равна 90 градусам, можно сказать, что α и δ дополняют друг друга. Более того, поскольку β и δ имеют одинаковые дополнительные α, можно сказать, что β и δ имеют одинаковую меру.

Примеры дополнительных углов

В следующих примерах предлагается найти неизвестные углы, отмеченные вопросительными знаками на рисунке 2.

Рисунок 2. Различные примеры дополнительных углов. Источник: Ф. Сапата.

- Примеры A, B и C

Следующие ниже примеры приведены в порядке сложности.

Пример А

На рисунке выше мы видим, что смежные углы α и 40º в сумме составляют прямой угол. То есть α + 40º = 90º, следовательно, α = 90º- 40º = 50º.

Пример Б

Поскольку β является дополнительным к углу 35º, тогда β = 90º - 35º = 55º.

Пример C

Из рисунка 2C мы видим, что сумма γ + 15º + 15º = 90º. Другими словами, γ является дополнительным к углу 30º = 15º + 15º. Так что:

γ = 90º- 30º = 60º

- Примеры D, E и F

В этих примерах задействовано больше углов. Чтобы найти неизвестные, читатель должен применять понятие дополнительного угла столько раз, сколько необходимо.

Пример D

Поскольку X является дополнительным к 72º, отсюда следует, что X = 90º - 72º = 18º. Кроме того, Y является дополнением к X, поэтому Y = 90º - 18º = 72º.

Наконец, Z является дополнительным к Y. Из всего вышесказанного следует, что:

Z = 90º - 72º = 18º

Пример E

Углы δ и 2δ дополняют друг друга, поэтому δ + 2δ = 90º.

То есть 3δ = 90º, что означает, что δ = 90º / 3 = 30º.

Пример F

Если мы назовем угол между que и 10º U, то U будет дополнительным к ним обоим, поскольку наблюдается, что их сумма составляет прямой угол. Отсюда следует, что U = 80º. Поскольку U является дополнительным к ω, то ω = 10º.

упражнения

Ниже предлагаются три упражнения. Во всех из них необходимо найти значение углов A и B в градусах, чтобы выполнялись соотношения, показанные на рисунке 3.

Рисунок 3. Иллюстрации для дополнительных угловых упражнений. Источник: Ф. Сапата.

- Упражнение 1

Определите значения углов A и B из части I) рисунка 3.

Решение

Из показанного рисунка видно, что A и B дополняют друг друга, поэтому A + B = 90º. Подставим выражение для A и B как функцию от x, приведенное в части I):

(х / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Затем члены группируются соответствующим образом, и получается простое линейное уравнение:

(5x / 2) + 22 = 90

Вычитая 22 в обоих членах, получаем:

5x / 2 = 90-22 = 68

И, наконец, значение x очищается:

х = 2 * 68/5 = 136/5

Теперь угол A находится путем подстановки значения X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Угол B равен:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5-я = 69,4º.

- Упражнение 2.

Найдите значения углов A и B изображения II, рисунок 3.

Решение

Опять же, поскольку A и B - дополнительные углы, отсюда следует, что: A + B = 90º. Подставляя выражение для A и B как функцию от x, приведенное в части II) рисунка 3, мы имеем:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Подобные термины сгруппированы вместе, чтобы получить уравнение:

6 х + 30 = 90

Разделив обоих членов на 6, вы получите:

х + 5 = 15

Отсюда следует, что x = 10º.

Таким образом:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

В = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Упражнение 3

Определите значения углов A и B из части III) рисунка 3.

Решение

Снова фигура тщательно анализируется, чтобы найти дополнительные углы. В этом случае мы имеем A + B = 90 градусов. Подставляя выражения для A и B как функцию от x, приведенного на рисунке, мы имеем:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 х + 30 = 90

Разделив оба члена на 3, получим следующее:

х + 10 = 30

Отсюда следует, что x = 20º.

Другими словами, угол A = -20 +45 = 25º. А со своей стороны: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Перпендикулярные боковые углы

Говорят, что два угла имеют перпендикулярные стороны, если каждая сторона имеет соответствующий перпендикуляр на другой. Следующий рисунок поясняет концепцию:

Рисунок 4. Углы перпендикулярных сторон. Источник: Ф. Сапата.

На рисунке 4, например, наблюдаются углы α и θ. Теперь обратите внимание, что каждому углу соответствует перпендикуляр под другим углом.

Также видно, что α и θ имеют одинаковый дополнительный угол z, поэтому наблюдатель сразу приходит к выводу, что α и θ имеют одинаковую меру. Тогда кажется, что если два угла имеют стороны, перпендикулярные друг другу, они равны, но давайте рассмотрим другой случай.

Теперь рассмотрим углы α и ω. Эти два угла также имеют соответствующие перпендикулярные стороны, однако нельзя сказать, что они имеют одинаковую величину, поскольку один острый, а другой тупой.

Обратите внимание, что ω + θ = 180º. Кроме того, θ = α. Если вы замените это выражение на z в первом уравнении, вы получите:

δ + α = 180º, где δ и α - взаимно перпендикулярные углы сторон.

Общее правило для углов перпендикулярных сторон

1. Балдор, Дж. А. 1973. Геометрия плоскости и пространства. Центральноамериканская культура.
2. Математические законы и формулы. Системы измерения углов. Получено с: ingemecanica.com.
3. Вентворт, Г. Плоская геометрия. Получено с: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Дополнительные углы. Получено с: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Конвейер. Получено с: es.wikipedia.com
6. Сапата Ф. Гониометро: история, детали, работа. Получено с: lifeder.com