Линейная интерполяция представляет собой метод , который берет начало общего Ньютона интерполяции и аппроксимации для определения по неизвестной величины , которая находится между двумя заданными числами; то есть найдено промежуточное значение. Он также применяется к приближенным функциям, где значения f (a) и f (b) известны, и мы хотим знать промежуточное значение f (x) .
Существуют различные типы интерполяции, такие как линейная, квадратичная, кубическая и более высоких степеней, самый простой из которых - линейная аппроксимация. Цена, которую приходится платить за линейную интерполяцию, заключается в том, что результат не будет таким точным, как при приближении с использованием функций более высоких степеней.
Определение
Линейная интерполяция - это процесс, который позволяет вывести значение между двумя четко определенными значениями, которые могут быть в таблице или на линейном графике.
Например, если вы знаете, что 3 литра молока стоят 4 доллара, а 5 литров - 7 долларов, но вы хотите знать, какова стоимость 4 литров молока, вы интерполируете, чтобы определить это промежуточное значение.
метод
Чтобы оценить промежуточное значение функции, функция f (x) аппроксимируется линией r (x) , что означает, что функция изменяется линейно с «x» для участка «x = a» и «x = б "; то есть для значения «x» в интервале (x 0 , x 1 ) и (y 0 , y 1 ) значение «y» задается линией между точками и выражается следующим соотношением:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Чтобы интерполяция была линейной, полином интерполяции должен иметь степень один (n = 1), чтобы он соответствовал значениям x 0 и x 1.
Линейная интерполяция основана на подобии треугольников таким образом, что геометрически извлекая из предыдущего выражения, можно получить значение «y», которое представляет неизвестное значение для «x».
Таким образом, вы должны:
a = tan Ɵ = (противоположная нога 1 ÷ смежная нога 1 ) = (противоположная нога 2 ÷ смежная нога 2 )
Другими словами, это:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Решая для «и» из выражений, мы имеем:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(у - у 0 ) = (у 1 - у 0 ) *
Таким образом, получается общее уравнение линейной интерполяции:
у = у 0 + (у 1 - у 0 ) *
В общем, линейная интерполяция дает небольшую ошибку в реальном значении истинной функции, хотя ошибка минимальна по сравнению с тем, если вы интуитивно выбираете число, близкое к тому, которое вы хотите найти.
Эта ошибка возникает при попытке аппроксимировать значение кривой прямой линией; В этих случаях размер интервала необходимо уменьшить, чтобы сделать приближение более точным.
Для получения лучших результатов в отношении приближения рекомендуется использовать функции степени 2, 3 или даже более высокой степени для выполнения интерполяции. В этих случаях теорема Тейлора - очень полезный инструмент.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Количество бактерий на единицу объема, существующих в инкубации через x часов, представлено в следующей таблице. Вы хотите знать, каков объем бактерий за 3,5 часа.
Решение
В справочной таблице не установлено значение, которое указывает количество бактерий за время 3,5 часа, но есть верхнее и нижнее значения, соответствующие времени 3 и 4 часа, соответственно. Туда:
х 0 = 3 и 0 = 91
х = 3,5 у =?
х 1 = 4 и 1 = 135
Теперь математическое уравнение применяется для нахождения интерполированного значения, которое выглядит следующим образом:
у = у 0 + (у 1 - у 0 ) * .
Затем подставляются соответствующие значения:
у = 91 + (135 - 91) *
у = 91 + (44) *
у = 91 + 44 * 0,5
у = 113.
Таким образом, получается, что за время 3,5 часа количество бактерий составляет 113, что представляет собой промежуточный уровень между объемом бактерий, существующих за периоды времени 3 и 4 часа.
Упражнение 2.
У Луиса есть фабрика по производству мороженого, и он хочет провести исследование, чтобы определить его доход в августе на основе понесенных расходов. Администратор компании составляет график, который отражает эту взаимосвязь, но Луис хочет знать:
Каков доход за август, если были понесены расходы в размере 55 000 долларов?
Решение
Дан график со значениями доходов и расходов. Луис хочет знать, каков будет доход в августе, если бы фабрика имела расходы в размере 55 000 долларов. Это значение не отображается напрямую на графике, но значения выше и ниже этого.
Сначала составляется таблица, в которой легко соотносить значения:
Теперь формула интерполяции используется для определения значения y
у = у 0 + (у 1 - у 0 ) *
Затем подставляются соответствующие значения:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
у = 56 000 + 12 936
y = 68 936 долларов.
Если в августе были произведены расходы в размере 55 000 долларов, доход составил 68 936 долларов.
Ссылки
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Разделы геометрической теории групп. Издательство Чикагского университета.
- Хазевинкель, М. (2001). Линейная интерполяция », Математическая энциклопедия.
- , JM (1998). Элементы численных методов для инженерии. UASLP.
- , Э. (2002). Хронология интерполяции: от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений. Труды IEEE.
- числовой, I. a. (2006). Хавьер Томас, Хорди Куадрос, Лучинио Гонсалес.