СТЕПЕНЬ ПОЛИНОМА: КАК ОПРЕДЕЛИТЬ, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Степень многочлена в переменной задается термином , который имеет наибольший показатель, и если полином имеет два или более переменных, то степень определяется суммой показателей каждого термина, тем больше сумма является степень полинома.

Давайте посмотрим, как определить степень многочлена на практике.

Рис. 1. Знаменитое уравнение Эйнштейна для энергии E представляет собой одночлен абсолютной степени 1 для переменной массы, обозначаемой m, поскольку скорость света c считается постоянной. Источник: Piqsels.

Предположим, что многочлен P (x) = -5x + 8x ³ + 7 - 4x ² . Этот многочлен является одной переменной, в данном случае это переменная x. Этот многочлен состоит из нескольких членов, а именно:

А теперь какой показатель? Ответ: 3. Следовательно, P (x) - многочлен степени 3.

Если рассматриваемый многочлен имеет более одной переменной, то степень может быть:

-Абсолютная

-По отношению к переменной

Абсолютная степень находится, как объяснено в начале: добавление показателей каждого члена и выбор наибольшего.

Вместо этого степень полинома по отношению к одной из переменных или букв является наибольшим значением показателя степени, которое имеет указанная буква. Суть станет яснее с примерами и решенными упражнениями в следующих разделах.

Примеры степени полинома

Многочлены могут быть классифицированы по степени: первая степень, вторая степень, третья степень и так далее. В примере на рисунке 1 энергия является мономом первой степени для массы.

Также важно отметить, что количество членов многочлена равно степени плюс 1. Таким образом:

-Полиномы первой степени имеют 2 члена: a ₁ x + a _o

-Полином второй степени состоит из 3 членов: a ₂ x ² + a ₁ x + a _o

-Многочлен третьей степени имеет 4 члена: a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a _или

И так далее. Внимательный читатель заметит, что многочлены в предыдущих примерах записаны в убывающей форме, то есть сначала ставится член с наибольшей степенью.

В следующей таблице показаны различные полиномы как от одной, так и от нескольких переменных и их соответствующие абсолютные степени:

Таблица 1. Примеры многочленов и их степени.

многочлен	степень
3х 4 + 5х 3 -2х + 3	4
7х 3 -2х 2 + 3х-6	3
6	0
х-1	один
х 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2	6
3x 3 и 5 + 5x 2 и 4 - 7xy 2 + 6	8

Последние два полинома имеют более одной переменной. Из них термин с наивысшей абсолютной степенью был выделен жирным шрифтом, чтобы читатель мог быстро проверить степень. Важно помнить, что если переменная не имеет записанного показателя степени, подразумевается, что указанный показатель равен 1.

Например, в выделенном термине ab ³ x ² есть три переменные, а именно: a, b и x. В этом термине a повышается до 1, то есть:

а = а ¹

Следовательно, ab ³ x ² = a ¹ b ³ x ²

Поскольку показатель b равен 3, а показатель x равен 2, немедленно следует, что степень этого члена равна:

1 + 3 + 2 = 6

Y - это абсолютная степень многочлена, поскольку ни один другой член не имеет более высокой степени.

Порядок работы с многочленами

При работе с многочленами важно обращать внимание на ее степень, поскольку сначала и перед выполнением любой операции удобно выполнить следующие шаги, в которых степень предоставляет очень важную информацию:

-Заказать полином предпочтения в порядке убывания. Таким образом, термин с самой высокой степенью находится слева, а член с самой низкой степенью - справа.

-Уменьшить подобные термины, процедура, которая состоит в алгебраическом сложении всех терминов одной и той же переменной и степени, найденных в выражении.

-При необходимости полиномы дополняются, добавляя члены с коэффициентом 0, если отсутствуют члены с показателем степени.

Упорядочить, уменьшить и дополнить многочлен

Учитывая многочлен Р (х) = 6x ² - 5x ⁴ - 2x + 3x + 7 + 2x ⁵ - 3x ³ + X ⁷ -12, то просят того , что в порядке убывания, уменьшить подобные термины, если таковые имеются, и завершить недостающие термины. если точно.

Первое, что нужно искать, - это член с наибольшим показателем, который представляет собой степень многочлена, которая оказывается равной:

х ⁷

Следовательно, P (x) имеет степень 7. Затем многочлен упорядочивается, начиная с этого члена слева:

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² - 2x + 3x + 7-12

Теперь подобные термины уменьшены, а именно: - 2x и 3x с одной стороны. И 7 и -12 с другой. Чтобы уменьшить их, коэффициенты складываются алгебраически, а переменная остается неизменной (если переменная не отображается рядом с коэффициентом, помните, что x ⁰ = 1):

-2x + 3x = х

7-12 = -5

Замените эти результаты на P (x):

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x -5

И, наконец, проверяется многочлен, чтобы увидеть, не пропущен ли какой-либо показатель степени, и действительно, отсутствует член с показателем степени 6, поэтому он завершается такими нулями:

P (x) = x ⁷ + 0x ⁶ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x - 5

Теперь можно заметить, что в полиноме осталось 8 членов, поскольку, как было сказано ранее, количество членов равно степени +1.

Важность степени полинома при сложении и вычитании

С полиномами вы можете выполнять операции сложения и вычитания, в которых добавляются или вычитаются только одинаковые члены, которые имеют одинаковую переменную и одинаковую степень. Если одинаковых терминов нет, просто указывается сложение или вычитание.

После того, как было выполнено сложение или вычитание, последнее является суммой противоположных величин, степень результирующего многочлена всегда равна или меньше степени многочлена, добавляющего наивысшую степень.

Решенные упражнения

- Упражнение решено 1

Найдите следующую сумму и определите ее абсолютную степень:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + a ³ + 14ax ² - x ³

Решение

Это многочлен с двумя переменными, поэтому его удобно сократить:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + a ³ + 14ax ² - x ³ =

= a ³ + 3a ³ + a ³ - 8ax ² - 6ax ² + 14ax ² + 5a ² x - 5a ² x + x ³ - x ³ - x ³ - x ³ =

= 5a ³ - 2x ³

Оба члена имеют степень 3 по каждой переменной. Следовательно, абсолютная степень полинома равна 3.

- Упражнение выполнено 2

Выразите площадь следующей плоской геометрической фигуры в виде многочлена (рисунок 2 слева). Какова степень полученного многочлена?

Рис. 2. Слева - рисунок решенного упражнения 2, а справа - тот же рисунок, разделенный на три области, выражение которых известно. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Поскольку это площадь, результирующий многочлен должен иметь степень 2 от переменной x. Чтобы определить подходящее выражение для площади, фигура разбивается на известные области:

Площадь прямоугольника и треугольника соответственно: основание x высота и основание x высота / 2.

А ₁ = х. 3х = 3х ² ; А ₂ = 5. х = 5х; А ₃ = 5. (2x / 2) = 5x

Примечание : основание треугольника 3x - x = 2x, а его высота 5.

Теперь три полученных выражения складываются, и мы получаем площадь фигуры как функцию от x:

3х ² + 5х + 5х = 3х ² + 10х

Ссылки

1. Балдор, А. 1974. Элементарная алгебра. Культурная Венесолана С.А.
2. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
3. Wikibooks. Многочлены. Получено с: es. wikibooks.org.
4. Wikipedia. Степень (полиномиальная). Получено с: es.wikipedia.org.
5. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Мак Гроу Хилл.