ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ: ИСТОРИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

В евклидовой геометрии соответствует изучению свойств геометрических пространств , где удовлетворенных Аксиомы Евклида. Хотя этот термин иногда используется для обозначения геометрий, имеющих более высокие размеры с аналогичными свойствами, он обычно является синонимом классической геометрии или геометрии плоскости.

В III веке а. К. Евклид и его ученики написали «Начала», труд, который охватил математические знания того времени, наделенные логико-дедуктивной структурой. С тех пор геометрия превратилась в науку, первоначально для решения классических задач, а затем превратилась в науку, которая помогает разуму.

история

Чтобы поговорить об истории евклидовой геометрии, необходимо начать с Евклида Александрийского и Элементов.

Когда Египет был оставлен в руках Птолемея I, после смерти Александра Македонского, он начал свой проект в школе в Александрии.

Среди мудрецов, преподававших в школе, был Евклид. Предполагается, что его рождение датируется примерно 325 годом до нашей эры. С. и его смерть 265 г. C. Мы можем с уверенностью знать, что он ходил в школу Платона.

Более тридцати лет Евклид преподавал в Александрии, создавая ее знаменитые элементы: он начал писать исчерпывающее описание математики своего времени. Учение Евклида произвело на свет прекрасных учеников, таких как Архимед и Аполлоний Пергский.

Евклид отвечал за систематизацию разрозненных открытий древних греков в отношении Элементов, но в отличие от своих предшественников он не ограничивается утверждением, что теорема верна; Евклид предлагает демонстрацию.

Элементы - это сборник из тринадцати книг. После Библии это самая опубликованная книга, насчитывающая более тысячи изданий.

Элементы Евклида

The Elements - это шедевр Евклида в области геометрии, предлагающий исчерпывающую трактовку геометрии двух измерений (плоскость) и трех измерений (пространство), что является источником того, что мы теперь знаем как евклидова геометрия. ,

Базовые концепции

Элементы состоят из определений, общих понятий и постулатов (или аксиом), за которыми следуют теоремы, конструкции и доказательства.

- Дело в том, что не имеет частей.

- Линия - это длина, у которой нет ширины.

- Прямая линия - это линия, которая лежит одинаково по отношению к находящимся на ней точкам.

- Если две линии вырезаны так, чтобы прилегающие углы были равны, углы называются прямыми линиями, а линии - перпендикулярными.

- Параллельные линии - это те, которые, находясь в одной плоскости, никогда не пересекаются.

После этих и других определений Евклид представляет нам список из пяти постулатов и пяти понятий.

Общие понятия

- Две вещи, которые равны третьей, равны друг другу.

- Если к одному и тому же добавить одно и то же, результат будет одинаковым.

- Если равные вещи вычитаются из равных, результаты равны.

- Вещи, которые подходят друг другу, равны друг другу.

- Сумма больше части.

Постулаты или аксиомы

- Одна и только одна линия проходит через две разные точки.

- Прямые линии можно продолжать бесконечно.

- Вы можете нарисовать круг с любым центром и любым радиусом.

- Все прямые углы равны.

- Если прямая линия пересекает две прямые, так что внутренние углы одной и той же стороны в сумме составляют менее двух прямых углов, то две прямые пересекаются на этой стороне.

Этот последний постулат известен как постулат параллельности и был переформулирован следующим образом: «Для точки вне линии может быть проведена единственная параллель данной линии».

Примеры

Далее, некоторые теоремы Элементов будут служить для демонстрации свойств геометрических пространств, в которых выполняются пять постулатов Евклида; Кроме того, они проиллюстрируют логико-дедуктивные рассуждения, используемые этим математиком.

Первый пример

Предложение 1.4. (LAL)

Если два треугольника имеют две стороны и угол между ними равен, то другие стороны и другие углы равны.

демонстрация

Пусть ABC и A'B'C 'два треугольника с AB = A'B', AC = A'C 'и углами BAC и B'A'C' равными. Переместим треугольник A'B'C 'так, чтобы A'B' совпадал с AB, а угол B'A'C 'совпадал с углом BAC.

Итак, прямая A'C 'совпадает с прямой AC, значит, C' совпадает с C. Тогда по постулату 1 прямая BC должна совпадать с прямой B'C '. Следовательно, два треугольника совпадают и, следовательно, их углы и стороны равны.

Второй пример

Предложение 1.5. (

Предположим, треугольник ABC имеет равные стороны AB и AC.

Итак, треугольники ABD и ACD имеют две равные стороны и углы между ними равны. Таким образом, по предложению 1.4 углы ABD и ACD равны.

Третий пример

Предложение 1.31.

Вы можете построить линию, параллельную линии, заданной данной точкой.

Здание

Даны прямая L и точка P, линия M проводится через P и пересекает L. Затем линия N проводится через P, которая пересекает L. Теперь линия N проводится через P, которая пересекает M, образуя угол, равный углу, который L образует с M.

утверждение

N параллельна L.

демонстрация

Предположим, что L и N не параллельны и пересекаются в точке A. Пусть B - точка в L за пределами A. Рассмотрим прямую O, которая проходит через B и P. Затем O пересекает M под углами, сумма которых меньше две прямые.

Тогда через 1,5 прямая O должна пересекать прямую L с другой стороны от M, поэтому L и O пересекаются в двух точках, что противоречит постулату 1. Следовательно, L и N должны быть параллельны.

Ссылки

1. Евклид Элементы геометрии. Национальный автономный университет Мексики
2. Евклид. Первые шесть книг и одиннадцатая и двенадцатая элементы Евклида
3. Эухенио Филлой Ягэ. Дидактика и история евклидовой геометрии, Grupo Editor Iberoamericano
4. К. Рыбников. История математики. Мир Редакция
5. Вилория, Н., Лил, Дж. (2005) Аналитическая геометрия на плоскости. Редакция Venezolana CA