ГОМОГРАФИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ: КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Функция томографическое или рациональная нг тип математической функции состоит из полиномиальных разделения двух компонентов. Он подчиняется форме P (x) / Q (x), где Q (x) не может принимать нулевую форму.

Например, выражение (2x - 1) / (x + 3) соответствует гомографической функции с P (x) = 2x - 1 и Q (x) = x + 3.

Источник: pixabay.com

Гомографические функции представляют собой раздел исследования аналитических функций, рассматриваемых с точки зрения графического подхода и исследования области и диапазона. Это связано с ограничениями и основаниями, которые должны применяться к вашим решениям.

Что такое гомографическая функция?

Они являются рациональными выражениями одной переменной, хотя это не означает, что не существует аналогичного выражения для двух или более переменных, где это уже было бы в присутствии тел в пространстве, которые подчиняются тем же образцам, что и гомографическая функция на плоскости.

В некоторых случаях они имеют реальные корни, но всегда сохраняется существование вертикальных и горизонтальных асимптот, а также интервалов роста и убывания. Обычно присутствует только одна из этих тенденций, но есть выражения, способные проявить обе в их развитии.

Его область определения ограничена корнями знаменателя, так как нет деления на ноль действительных чисел.

Смешанная гомографическая функция

Они очень часто используются в вычислениях, особенно дифференциальных и интегральных, которые необходимо вывести и не производные по определенным формулам. Некоторые из наиболее распространенных перечислены ниже.

Четный корень n-й степени гомографической функции

Исключить все элементы домена, которые делают аргумент отрицательным. Корни, присутствующие в каждом полиноме, при вычислении дают нулевые значения.

Эти значения принимаются радикалом, хотя необходимо учитывать фундаментальное ограничение гомографической функции. Где Q (x) не может получать нулевые значения.

Решения интервалов необходимо перехватывать:

Для решения проблемы перекрестков, среди прочего, можно использовать знаковый метод.

Логарифм омографической функции

Также часто встречаются оба выражения в одном, среди других возможных комбинаций.

Как построить график гомографической функции?

Гомографические функции графически соответствуют гиперболам на плоскости. Которые транспортируются по горизонтали и вертикали в соответствии со значениями, определяющими многочлены.

Есть несколько элементов, которые мы должны определить, чтобы построить график рациональной или гомографической функции.

имущество

Первыми будут корни или нули функций P и Q.

Достигнутые значения будут обозначены на оси абсцисс графика. Обозначение пересечений графика с осью.

Вертикальная асимптота

Они соответствуют вертикальным линиям, разграничивающим график в соответствии с представленными ими тенденциями. Они касаются оси x при значениях, которые делают знаменатель равным нулю, и никогда не будут затронуты графиком гомографической функции.

Горизонтальная асимптота

Представленный горизонтальной линией стежка, он определяет предел, для которого функция не будет определена в точной точке. Тенденции будут наблюдаться до и после этой линии.

Чтобы вычислить его, мы должны прибегнуть к методу, аналогичному методу Л'Опиталя, который используется для решения пределов рациональных функций, стремящихся к бесконечности. Мы должны взять коэффициенты при старших степенях в числителе и знаменателе функции.

Например, следующее выражение имеет горизонтальную асимптоту при y = 2/1 = 2.

Интервал роста

Значения ординат будут иметь тренды, отмеченные на графике из-за асимптот. В случае роста функция будет увеличивать значения, поскольку элементы домена оцениваются слева направо.

Уменьшить интервал

Значения ординат будут уменьшаться по мере того, как элементы домена оцениваются слева направо.

Скачки значений не будут учитываться при увеличении или уменьшении. Это происходит, когда график близок к вертикальной или горизонтальной асимптоте, где значения могут изменяться от бесконечности до отрицательной бесконечности и наоборот.

Y пересечение

Установив значение x равным нулю, мы находим точку пересечения с осью ординат. Это очень полезные данные для получения графика рациональной функции.

Примеры

Определите график следующих выражений, найдите их корни, вертикальные и горизонтальные асимптоты, интервалы увеличения и уменьшения и пересечения с осью ординат.

Упражнение 1

Выражение не имеет корней, потому что у него постоянное значение в числителе. Применяемое ограничение будет отличаться от нуля на x. С горизонтальной асимптотой при y = 0 и вертикальной асимптотой при x = 0. Нет точек пересечения с осью y.

Замечено, что нет интервалов роста даже при скачке от минус до плюс бесконечности при x = 0.

Интервал уменьшения составляет

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Упражнение 1.2.

2 полинома наблюдаются как в исходном определении, поэтому мы действуем в соответствии с установленными шагами.

Найденный корень равен x = 7/2, что является результатом установки функции равной нулю.

Вертикальная асимптота находится при x = - 4, что является значением, исключенным из области определения условием рациональной функции.

Горизонтальная асимптота находится при y = 2, это после деления 2/1, коэффициентов переменных степени 1.

Он имеет точку пересечения по оси Y = - 7/4. Значение, найденное после приравнивания x к нулю.

Функция постоянно растет, с переходом от плюса к минус бесконечности вокруг корня x = -4.

Его интервал роста равен (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Когда значение x приближается к минус бесконечности, функция принимает значения, близкие к 2. То же самое происходит, когда x приближается к большей бесконечности.

Выражение приближается к плюсу бесконечности при оценке до -4 слева и к минус бесконечности при оценке до -4 справа.

Упражнение 2.

Наблюдается график следующей гомографической функции:

Опишите его поведение, корни, вертикальные и горизонтальные асимптоты, интервалы роста и убывания и пересечение с осью ординат.

Знаменатель выражения сообщает нам, разложив разность квадратов (x + 1) (x - 1) на значения корней. Таким образом, обе вертикальные асимптоты можно определить как:

х = -1 и х = 1

Горизонтальная асимптота соответствует оси абсцисс, поскольку в знаменателе стоит наибольшая степень.

Его единственный корень определяется как x = -1/3.

Выражение всегда уменьшается слева направо. При приближении к бесконечности он приближается к нулю. Минус бесконечность, когда вы приближаетесь к -1 слева. Плюс бесконечность, когда она приближается к -1 справа. Меньше бесконечности при приближении к 1 слева и больше бесконечности при приближении к 1 справа.

Ссылки

1. Аппроксимация рациональными функциями. Дональд Дж. Ньюман. American Mathematical Soc., 31 декабря. 1979
2. Ортогональные рациональные функции. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 февраля. 1999
3. Рациональное приближение вещественных функций. П.П. Петрушев, Васил Атанасов Попов. Cambridge University Press, 3 марта. 2011
4. Алгебраические функции. Гилберт Эймс Блисс. Courier Corporation, 1 января 2004
5. Журнал Испанского математического общества, тома 5-6. Испанское математическое общество, Мадрид, 1916 г.