ENEAGON: СВОЙСТВА, КАК СДЕЛАТЬ ENEAGON, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА

Enegon представляет собой многоугольник с девяти сторон и девяти вершин, которые могут или не могут быть регулярными. Название eneágono происходит от греческого языка и состоит из греческих слов ennea (девять) и gonon (угол).

Альтернативное название девятиугольного многоугольника - нонагон, происходящее от латинского слова nonus (девять) и gonon (вершина). С другой стороны, если стороны или углы пятиугольника не равны друг другу, то получается неправильный пятиугольник. Если же, с другой стороны, все девять сторон и девять углов этого угла равны, то это правильный шестиугольник.

Рис. 1. Правильный и неправильный углы. (Собственная разработка)

Свойства eneagon

Для многоугольника с n сторонами сумма его внутренних углов равна:

(n - 2) * 180º

В enegon это будет n = 9, поэтому сумма его внутренних углов равна:

Sa = (9–2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

В любом многоугольнике количество диагоналей равно:

D = n (n - 3) / 2 и в случае enegon, поскольку n = 9, тогда D = 27.

Обычный энегон

В правильном пятиугольнике или нонагоне есть девять (9) внутренних углов равной меры, поэтому каждый угол составляет одну девятую от общей суммы внутренних углов.

Мера внутренних углов энегона тогда составляет 1260º / 9 = 140º.

Рис. 2. Апофема, радиус, стороны, углы и вершины правильного пятиугольника. (Собственная разработка)

Чтобы вывести формулу площади правильного конуса со стороной d, удобно сделать некоторые вспомогательные конструкции, например, показанные на рисунке 2.

Центр O находится путем прослеживания биссектрис двух смежных сторон. Центр O на одинаковом расстоянии от вершин.

Радиус длины r - это отрезок от центра O до вершины enegon. На рис. 2 показаны радиусы OD и OE длины r.

Апофема - это сегмент, который идет от центра к середине одной стороны энегона. Например, OJ - это апофема длиной a.

Площадь энегона известная сторона и апофема

Мы рассматриваем треугольник ODE на рисунке 2. Площадь этого треугольника равна произведению его основания DE и высоты OJ, деленных на 2:

Площадь ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Поскольку в enegon 9 треугольников одинаковой площади, можно сделать вывод, что одинаковая площадь равна:

Площадь Энегона = (9/2) (d * a)

Площадь известного горного края

Если известна только длина d сторон энегона, то необходимо найти длину апофемы, чтобы применить формулу из предыдущего раздела.

Мы рассматриваем прямоугольный треугольник OJE в J (см. Рисунок 2). Если применить тангенциальное тригонометрическое соотношение, получим:

загар (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Угол ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, поскольку EO является биссектрисой внутреннего угла конуса.

С другой стороны, OJ - это апофема длины a.

Тогда, поскольку J - середина ED, EJ = d / 2.

Подставляя предыдущие значения в касательное отношение, получаем:

загар (70º) = a / (d / 2).

Теперь очищаем длину апофемы:

a = (d / 2) tan (70º).

Предыдущий результат подставляется в формулу площади, чтобы получить:

Площадь enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Наконец, мы находим формулу, которая позволяет получить площадь правильного конуса, если известна только длина его сторон d:

Площадь энегона = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Периметр регулярного энегона известен своей стороной

Периметр многоугольника - это сумма его сторон. В случае энегона, поскольку каждая из сторон измеряет длину d, его периметр будет суммой, умноженной на девять d, то есть:

Периметр = 9 д.

Периметр энегона известен своим радиусом

Рассматривая прямоугольный треугольник OJE в J (см. Рисунок 2), применяется тригонометрическое косинусное отношение:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Откуда он берется:

d = 2r cos (70º)

Подставляя этот результат, получаем формулу для периметра как функции радиуса конуса:

Периметр = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Как сделать обычный энегон

1- Чтобы построить правильный треугольник с линейкой и циркулем, начните с окружности c, которая ограничивает этот треугольник. (см. рисунок 3)

2- Две перпендикулярные линии проводятся через центр O окружности. Затем точки пересечения A и B одной из прямых обозначаются окружностью.

3- С помощью циркуля, центрируемого в точке пересечения B и отверстии, равном радиусу BO, рисуется дуга, которая пересекает исходную окружность в точке C.

Рисунок 3. Шаги по созданию обычного enegon. (Собственная разработка)

4- Предыдущий шаг повторяется, но при создании центра в точке A и радиуса AO рисуется дуга, пересекающая окружность c в точке E.

5- Открыв AC и центр в A, рисуется дуга окружности. Аналогично с раскрытием BE и центром B рисуется другая дуга. Пересечение этих двух дуг обозначено точкой G.

6- Делая центр в точке G и открывая GA, рисуется дуга, которая пересекает вторичную ось (в данном случае горизонтальную) в точке H. Пересечение вторичной оси с исходной окружностью c обозначено как I.

7- Длина отрезка IH равна длине d стороны конуса.

8- При отверстии компаса IH = d последовательно строятся дуги с радиусом центра A AJ, радиусом центра J AK, радиусом KL центра K и радиусом LP центра L.

9- Аналогичным образом, начиная с A и с правой стороны, рисуются дуги радиуса IH = d, которые отмечают точки M, N, C и Q на исходной окружности c.

10- Наконец, нарисованы сегменты AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ и, наконец, PB.

Следует отметить, что метод строительства не совсем точен, так как можно проверить, что последняя сторона ПБ на 0,7% длиннее остальных сторон. На сегодняшний день не существует известного метода построения с линейкой и циркулем, который был бы на 100% точным.

Примеры

Вот несколько отработанных примеров.

Пример 1

Мы хотим построить правильный эйгон со сторонами 2 см. Какой радиус должен иметь окружность, описывающая его, чтобы, применяя описанную ранее конструкцию, был получен желаемый результат?

В предыдущем разделе была выведена формула, связывающая радиус r описанной окружности со стороной d правильного конуса:

d = 2r cos (70º)

Решая для r из предыдущего выражения, мы имеем:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Подстановка значения d = 2 см в предыдущую формулу дает радиус r 2,92 см.

Пример 2

Какова площадь обычного энегона со стороной 2 см?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны обратиться к ранее показанной формуле, которая позволяет нам найти площадь известного энегона по длине d его стороны: