ЭЛЛИПСОИД: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРИМЕРЫ - ARTE - 2026

Эллипсоида является поверхностью в пространстве , которое принадлежит к группе поверхностей второго и чье общее уравнение имеет вид:

Это трехмерный эквивалент эллипса, для которого в некоторых особых случаях характерны эллиптические и круговые следы. Следы - это кривые, полученные пересечением эллипсоида плоскостью.

Рис. 1. Три разных эллипсоида: вверху сфера, в которой три полуоси равны, внизу слева сфероид с двумя равными полуосями и другой, и, наконец, внизу справа - трехосный сфероид с тремя разными осями. длина. Источник: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Помимо эллипсоида, есть еще пять квадрик: однополостный и двухлистный гиперболоид, два типа параболоида (гиперболический и эллиптический) и эллиптический конус. Следы его также имеют коническую форму.

Эллипсоид также можно выразить стандартным уравнением в декартовых координатах. Эллипсоид с центром в начале координат (0,0,0), выраженный таким образом, напоминает эллипс, но с дополнительным членом:

Значения a, b и c являются действительными числами больше 0 и представляют три полуоси эллипсоида.

Характеристики эллипсоида

- Стандартное уравнение

Стандартное уравнение в декартовых координатах для эллипса с центром в точке (h, k, m):

- Параметрические уравнения эллипсоида

В сферических координатах эллипсоид можно описать следующим образом:

х = грех θ. cos φ

у = б грех θ. сен φ

z = c cos θ

Полуоси эллипсоида остаются a, b и c, а параметрами являются углы θ и φ на следующем рисунке:

Рисунок 2. Сферическая система координат. Эллипсоид может быть параметризован с использованием отображаемых углов тета и фи в качестве параметров. Источник: Wikimedia Commons. Андеггс / Общественное достояние.

- Следы эллипсоида

Общее уравнение поверхности в пространстве: F (x, y, z) = 0, а следы поверхности - это кривые:

- х = с; F (c, y, z) = 0

- у = с; F (х, с, z) = 0

- z = c; F (х, у, с) = 0

В случае эллипсоида такие кривые представляют собой эллипсы, а иногда и окружности.

- Объем

Объем V эллипсоида равен (4/3) π умноженным на произведение трех его полуосей:

V = (4/3) π. азбука

Частные случаи эллипсоида

-Эллипсоид становится сферой, когда все полуоси имеют одинаковый размер: a = b = c ≠ 0. Это имеет смысл, поскольку эллипсоид подобен сфере, которая была растянута по-разному вдоль каждой. ось.

-Сфероид представляет собой эллипсоид, в котором две полуоси идентичны, а третья другая, например, это может быть a = b ≠ c.

Сфероид также называют эллипсоидом вращения, потому что он может быть образован вращением эллипсов вокруг оси.

Если ось вращения совпадает с большой осью, сфероид вытянутый, но если он совпадает с малой осью, он сжат:

Рис. 3. Сплюснутый сфероид слева и вытянутый сфероид справа. Источник: Wikimedia Commons.

Мера уплощения сфероида (эллиптичность) определяется разницей в длине между двумя полуосями, выраженной в дробной форме, то есть это единица сплющивания, определяемая как:

е = (а - б) / а

В этом уравнении a представляет большую полуось, а b - малую ось, помните, что третья ось равна одной из них для сфероида. Значение f находится в диапазоне от 0 до 1, а для сфероида оно должно быть больше 0 (если бы оно было равно 0, у нас была бы просто сфера).

Справочный эллипсоид

Планеты и звезды в целом обычно не являются идеальными сферами, потому что вращательное движение вокруг их осей сглаживает тело на полюсах и выпячивает его на экваторе.

Вот почему Земля похожа на сплюснутый сфероид, хотя и не такой преувеличенный, как на предыдущем рисунке, а газовый гигант Сатурн со своей стороны является самой плоской из планет Солнечной системы.

Таким образом, более реалистичный способ представить планеты - это предположить, что они похожи на сфероид или эллипсоид вращения, большая полуось которого соответствует экваториальному радиусу, а малая полуось - полярному радиусу.

Тщательные измерения, сделанные на земном шаре, позволили построить опорный эллипсоид Земли как наиболее точный способ математической обработки.

Звезды также имеют вращательные движения, которые придают им более или менее уплощенные формы. Быстрая звезда Ахернар, восьмая по яркости звезда на ночном небе, в южном созвездии Эридана, имеет удивительно эллиптическую форму по сравнению с большинством из них. Это 144 световых года от нас.

С другой стороны, несколько лет назад ученые обнаружили самый сферический объект из когда-либо обнаруженных: звезду Кеплер 11145123, находящуюся на расстоянии 5000 световых лет, в два раза больше нашего Солнца и с разницей между полуосями всего в 3 км. Как и ожидалось, он тоже медленнее вращается.

Что касается Земли, то она не является идеальным сфероидом из-за ее неровной поверхности и местных изменений силы тяжести. По этой причине доступно более одного эталонного сфероида, и на каждом сайте выбирается наиболее подходящий для местной географии.

Помощь спутников неоценима в создании все более точных моделей формы Земли, благодаря которым известно, например, что южный полюс ближе к экватору, чем северный полюс.

Рис. 4. Хаумеа, транснептуновая карликовая планета, имеет эллипсоидальную форму. Источник: Wikimedia Commons.

Числовой пример

Из-за вращения Земли создается центробежная сила, которая придает ей форму продолговатого эллипсоида, а не сферы. Известно, что экваториальный радиус Земли составляет 3963 мили, а полярный радиус - 3942 мили.

Найдите уравнение экваториального следа этого эллипсоида и меру его уплощения. Также сравните с эллиптичностью Сатурна, с данными, приведенными ниже:

Экваториальный радиус Сатурна: 60 ​​268 км

-Полярный радиус Сатурна: 54,364 км.

Решение

Требуется система координат, центр которой мы будем считать центрированной в начале координат (центре Земли). Предположим, что вертикальная ось z и след, который соответствует экватору, лежит в плоскости xy, эквивалентной плоскости z = 0.

В экваториальной плоскости полуоси a и b равны, поэтому a = b = 3963 мили, а c = 3942 мили. Это особый случай: сфероид с центром в точке (0,0,0), как упоминалось выше.

Экваториальный след представляет собой круг радиусом R = 3963 мили с центром в начале координат. Он рассчитывается путем принятия z = 0 в стандартном уравнении:

А стандартное уравнение земного эллипсоида:

f _Земля = (a - b) / a = (3963-3942) миль / 3963 мили = 0,0053

f _Сатурн = (60268-54363) км / 60268 км = 0,0980

Обратите внимание, что эллиптичность f - безразмерная величина.

Ссылки

1. ArcGIS for Desktop. Сфероиды и сферы. Получено с: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Тайна самого сферического объекта, когда-либо открытого во Вселенной. Получено с: bbc.com.
3. Ларсон Р. Исчисление и аналитическая геометрия. Издание шестое. Том 2. Макгроу Хилл.
4. Wikipedia. Эллипсоид. Получено с: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Сфероид. Получено с: en.wikipedia.org.