ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

В распределения вероятностей дискретное является функцией , которая сопоставляет каждый элемент X (S) = {x1, x2, …, х …}, где Х представляет собой дискретная случайная величина с учетом и S представляет собой выборочное пространство, вероятность того, что указанное событие происходит. Эту функцию f от X (S), определяемую как f (xi) = P (X = xi), иногда называют функцией вероятности массы.

Эта масса вероятностей обычно представлена ​​в виде таблицы. Поскольку X - дискретная случайная величина, X (S) имеет конечное число событий или счетную бесконечность. Среди наиболее распространенных дискретных распределений вероятностей есть равномерное распределение, биномиальное распределение и распределение Пуассона.

характеристики

Функция распределения вероятностей должна удовлетворять следующим условиям:

Кроме того, если X принимает только конечное число значений (например, x1, x2,…, xn), то p (xi) = 0, если i> ny, следовательно, бесконечный ряд условия b становится конечная серия.

Эта функция также выполняет следующие свойства:

Пусть B будет событием, связанным со случайной величиной X. Это означает, что B содержится в X (S). В частности, предположим, что B = {xi1, xi2, …}. Таким образом:

Другими словами, вероятность события B равна сумме вероятностей отдельных результатов, связанных с B.

Из этого можно сделать вывод, что если a <b, события (X ≤ a) и (a <X ≤ b) являются взаимоисключающими, и, кроме того, их объединение является событием (X ≤ b), поэтому мы имеем:

Типы

Равномерное распределение по n точкам

Говорят, что случайная величина X подчиняется распределению, характеризующемуся равномерностью в n точках, если каждому значению присваивается одинаковая вероятность. Его функция вероятностной массы:

Предположим, у нас есть эксперимент, который имеет два возможных результата: это может быть подбрасывание монеты, возможные результаты которого являются орлом или решкой, или выбор целого числа, результат которого может быть четным или нечетным числом; этот тип эксперимента известен как тесты Бернулли.

В общем, два возможных результата называются успехом и неудачей, где p - вероятность успеха, а 1-p - вероятность неудачи. Мы можем определить вероятность x успехов в n тестах Бернулли, которые не зависят друг от друга, с помощью следующего распределения.

Биномиальное распределение

Это функция, которая представляет вероятность получения x успехов в n независимых тестах Бернулли, вероятность успеха которых равна p. Его функция вероятностной массы:

На следующем графике представлена ​​функция массы вероятности для различных значений параметров биномиального распределения.

Следующее распределение получило свое название от французского математика Симеона Пуассона (1781-1840), который получил его как предел биномиального распределения.

распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина X имеет пуассоновское распределение параметра λ, если она может принимать положительные целые значения 0,1,2,3, … со следующей вероятностью:

В этом выражении λ - среднее число, соответствующее появлению события в каждую единицу времени, а x - количество раз, когда событие происходит.

Его функция вероятностной массы:

Вот график, который представляет функцию массы вероятности для различных значений параметров распределения Пуассона.

Обратите внимание, что до тех пор, пока количество успехов невелико, а количество тестов, выполненных с биномиальным распределением, велико, мы всегда можем аппроксимировать эти распределения, поскольку распределение Пуассона является пределом биномиального распределения.

Основное различие между этими двумя распределениями состоит в том, что, хотя биномиальное зависит от двух параметров, а именно n и p, Пуассон зависит только от λ, которую иногда называют интенсивностью распределения.

До сих пор мы говорили о распределении вероятностей только для случаев, когда различные эксперименты независимы друг от друга; то есть, когда результат одного не зависит от другого результата.

Когда это происходит в случае проведения экспериментов, которые не являются независимыми, гипергеометрическое распределение очень полезно.

Гипергеометрическое распределение

Пусть N будет общим числом объектов конечного набора, k из которых мы можем каким-то образом идентифицировать, таким образом формируя подмножество K, дополнение которого образовано оставшимися Nk элементами.

Если мы случайно выберем n объектов, случайная величина X, которая представляет количество объектов, принадлежащих K в указанном выборе, будет иметь гипергеометрическое распределение параметров N, n и k. Его функция вероятностной массы:

На следующем графике представлена ​​функция массы вероятности для различных значений параметров гипергеометрического распределения.

Решенные упражнения

Первое упражнение

Предположим, что вероятность того, что радиолампа (помещенная в оборудование определенного типа) проработает более 500 часов, равна 0,2. Если испытать 20 трубок, какова вероятность того, что ровно k из них проработают более 500 часов, k = 0, 1,2,…, 20?

Решение

Если X - количество трубок, которые работают более 500 часов, мы будем предполагать, что X имеет биномиальное распределение. Так

Так что:

Для k≥11 вероятности меньше 0,001

Таким образом, мы можем видеть, как вероятность того, что k из них работают более 500 часов, увеличивается, пока не достигнет своего максимального значения (с k = 4), а затем начинает уменьшаться.

Второе упражнение

Монета подбрасывается 6 раз. Когда результат будет дорогим, мы скажем, что он удачный. Какова вероятность того, что выпадут точно две головы?

Решение

Для этого случая мы имеем n = 6, и вероятность успеха и неудачи p = q = 1/2.

Следовательно, вероятность того, что выпадут две головы (то есть k = 2), равна

Третье упражнение

Какова вероятность найти хотя бы четыре головы?

Решение

В этом случае k = 4, 5 или 6

Третье упражнение

Предположим, что 2% изделий, производимых на заводе, являются бракованными. Найдите вероятность P того, что в выборке из 100 предметов есть три дефектных предмета.

Решение

В этом случае мы могли бы применить биномиальное распределение для n = 100 и p = 0,02, получив в результате:

Однако, поскольку p мало, мы используем приближение Пуассона с λ = np = 2. Так,

Ссылки

1. Кай Лай Чунг. Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Розен, Дискретная математика и ее приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Сеймур Липшуц Ph.D. 2000 Решенные задачи дискретной математики. McGraw-Hill.
5. Сеймур Липшуц Ph.D. Теория и проблемы теории вероятностей. McGraw-Hill.