ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ, МОДЕЛЬ - ДУДАС - 2025

Гипергеометрическое распределение является дискретной статистической функцией, подходит для вычисления вероятности в рандомизированных экспериментах с двумя возможными результатами. Условие, которое требуется для его применения, состоит в том, что они представляют собой небольшие популяции, в которых изъятия не заменяются, а вероятности не являются постоянными.

Следовательно, когда элемент совокупности выбирается, чтобы знать результат (истинный или ложный) определенной характеристики, этот же элемент не может быть выбран снова.

Рис. 1. В такой группе болтов наверняка есть дефектные образцы. Источник: Pixabay.

Конечно, следующий выбранный элемент с большей вероятностью получит истинный результат, если предыдущий элемент дал отрицательный результат. Это означает, что вероятность меняется по мере извлечения элементов из выборки.

Основными приложениями гипергеометрического распределения являются: контроль качества в процессах с малой численностью населения и расчет вероятностей в азартных играх.

Что касается математической функции, определяющей гипергеометрическое распределение, она состоит из трех параметров, а именно:

- Количество элементов популяции (N)

- Размер выборки (м)

- Количество событий во всей популяции с благоприятным (или неблагоприятным) результатом исследуемой характеристики (n).

Формулы и уравнения

Формула гипергеометрического распределения дает вероятность P того, что произойдет x благоприятных случаев определенной характеристики. Математически это можно записать на основе комбинаторных чисел:

В предыдущем выражении N, n и m - параметры, а x - сама переменная.

- Общая численность населения N.

-Количество положительных результатов определенной бинарной характеристики по отношению ко всей совокупности равно n.

-Количество элементов в выборке m.

В этом случае X - это случайная величина, которая принимает значение x, а P (x) указывает вероятность возникновения x благоприятных случаев изучаемой характеристики.

Важные статистические переменные

Другие статистические переменные для гипергеометрического распределения:

- Среднее μ = m * n / N

- Дисперсия σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Стандартное отклонение σ, которое представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Модель и свойства

Чтобы прийти к модели гипергеометрического распределения, мы начнем с вероятности получения x благоприятных случаев в выборке размера m. Этот образец содержит элементы, которые соответствуют исследуемому свойству, и элементы, которые не соответствуют.

Напомним, что n представляет собой количество благоприятных случаев в общей популяции из N элементов. Тогда вероятность будет рассчитываться так:

Выражая сказанное выше в виде комбинаторных чисел, получается следующая модель распределения вероятностей:

Основные свойства гипергеометрического распределения

Вот они:

- Выборка всегда должна быть небольшой, даже если популяция большая.

- Элементы выборки извлекаются один за другим без включения их обратно в генеральную совокупность.

- Исследуемое свойство является двоичным, то есть может принимать только два значения: 1 или 0, или истина или ложь.

На каждом шаге извлечения элемента вероятность изменяется в зависимости от предыдущих результатов.

Аппроксимация с использованием биномиального распределения

Другое свойство гипергеометрического распределения состоит в том, что оно может быть аппроксимировано биномиальным распределением, обозначенным Bi, при условии, что совокупность N велика и по крайней мере в 10 раз больше, чем выборка m. В этом случае это будет выглядеть так:

Вероятность того, что x = 3 винта в образце неисправны, составляет: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

Со своей стороны, вероятность того, что x = 4 винта из шестидесяти образцов являются дефектными, составляет: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Наконец, вероятность того, что x = 5 винтов в этом образце неисправны, составляет: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Но если вы хотите узнать вероятность того, что в этом образце более 3 дефектных винтов, вам нужно получить кумулятивную вероятность, добавив:

Этот пример проиллюстрирован на рисунке 2, полученном с помощью GeoGebra, бесплатного программного обеспечения, широко используемого в школах, институтах и ​​университетах.

Рисунок 2. Пример гипергеометрического распределения. Подготовлено Ф. Сапатой совместно с GeoGebra.

Пример 2

Колода испанской колоды состоит из 40 карт, из которых 10 имеют золото, а остальные 30 - нет. Предположим, что из этой колоды случайным образом вытягиваются 7 карт, которые не включаются в колоду.

Если X - количество золотых, присутствующих в 7 вытянутых картах, то вероятность получить x золотых при розыгрыше 7 карт определяется гипергеометрическим распределением P (40,10,7; x).

Давайте посмотрим на это так: для расчета вероятности получения 4 золотых при розыгрыше 7 карт мы используем формулу гипергеометрического распределения со следующими значениями:

И результат: вероятность 4,57%.

Но если вы хотите узнать вероятность получения более 4 карт, вам необходимо добавить:

Решенные упражнения

Следующий набор упражнений предназначен для иллюстрации и усвоения концепций, представленных в этой статье. Важно, чтобы читатель попытался решить их самостоятельно, прежде чем смотреть на решение.

Упражнение 1

Завод по производству презервативов обнаружил, что из каждых 1000 презервативов, произведенных на определенной машине, 5 являются дефектными. Для контроля качества случайным образом отбирается 100 презервативов, и партия отклоняется, если есть хотя бы один или несколько дефектов. Ответ:

а) Какова вероятность того, что партия из 100 будет выброшена?

б) Эффективен ли этот критерий контроля качества?

Решение

В этом случае появятся очень большие комбинаторные числа. Расчет затруднен, если у вас нет подходящего программного обеспечения.

Но поскольку это большая совокупность, а выборка в десять раз меньше общей совокупности, можно использовать приближение гипергеометрического распределения биномиальным распределением:

В приведенном выше выражении C (100, x) - комбинаторное число. Тогда вероятность наличия более одного дефекта будет рассчитана следующим образом:

Это отличное приближение по сравнению со значением, полученным с помощью гипергеометрического распределения: 0,4102

Можно сказать, что с вероятностью 40% следует выбросить партию из 100 профилактических средств, что не очень эффективно.

Но, будучи немного менее требовательным в процессе контроля качества и отбрасывая партию 100 только при наличии двух или более дефектов, вероятность отбраковки партии упала бы всего до 8%.

Упражнение 2.

Машина для производства пластиковых блоков работает таким образом, что из каждых 10 штук одна выходит деформированной. Какова вероятность того, что в выборке из 5 штук неисправна только одна деталь?

Решение

Население: N = 10

Количество n дефектов на каждые N: n = 1

Размер выборки: m = 5

Следовательно, существует 50% вероятность того, что в выборке из 5 блоков будет деформироваться блок.

Упражнение 3.

На встрече молодых выпускников средней школы 7 женщин и 6 мужчин. Среди девочек 4 изучают гуманитарные науки и 3 естественные науки. В мужской группе 1 изучает гуманитарные науки и 5 естественных наук. Рассчитайте следующее:

а) Выбор трех девушек наугад: насколько вероятно, что все они изучают гуманитарные науки?

б) Если трое участников собрания друзей выбраны случайным образом: какова вероятность того, что трое из них, независимо от пола, будут изучать естественные науки все три или гуманитарные науки также все три?

c) Теперь выберите двух друзей наугад и назовите x случайной величиной «количество тех, кто изучает гуманитарные науки». Между двумя выбранными определите среднее или ожидаемое значение x и дисперсию σ ^ 2.

Решение для

Значения, которые следует использовать сейчас:

-Население: N = 14

-Количество изучаемых букв составляет: n = 6 и

-Размер образца: m = 3.

-Количество друзей, изучающих гуманитарные науки: x

Соответственно, x = 3 означает, что все трое изучают гуманитарные науки, а x = 0 означает, что никто не изучает гуманитарные науки. Вероятность того, что все трое изучат одно и то же, выражается суммой:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Тогда у нас есть 21% вероятность того, что трое случайно выбранных участников встречи изучат одно и то же.

Решение c

Здесь у нас есть следующие значения:

N = 14 общее количество друзей, n = 6 общее количество в популяции, изучающей гуманитарные науки, размер выборки m = 2.

Надежда:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

И дисперсия:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0,4521

Ссылки

1. Дискретные распределения вероятностей. Получено с: biplot.usal.es
2. Статистика и вероятность. Гипергеометрическое распределение. Получено с: projectdescartes.org
3. CDPYE-УГР. Гипергеометрическое распределение. Восстановлено с: ugr.es
4. GeoGebra. Классическая геогебра, исчисление вероятностей. Восстановлено с geogebra.org
5. Попробуй легко. Решенные задачи гипергеометрического распределения. Получено с: probafacil.com
6. Minitab. Гипергеометрическое распределение. Получено с: support.minitab.com
7. Университет Виго. Основные дискретные распределения. Получено с: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Статистика и комбинаторика. Получено с: vitutor.net
9. Вайсштейн, Эрик В. Гипергеометрическое распределение. Получено с: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Гипергеометрическое распределение. Получено с: es.wikipedia.com