ЕВКЛИДОВО РАССТОЯНИЕ: ПОНЯТИЕ, ФОРМУЛА, РАСЧЕТ, ПРИМЕР - МАТЕМАТИКА - 2026

Евклидово расстояние является положительным числом , которое указывает расстояние между двумя точками в пространстве , где аксиомы и теоремы геометрии Евклида будут выполнены.

Расстояние между двумя точками A и B в евклидовом пространстве - это длина вектора AB, принадлежащего единственной прямой, которая проходит через эти точки.

Фигура 1 . Одномерное евклидово пространство, образованное линией (OX). На указанном пространстве показаны несколько точек, их координаты и расстояния. (Подготовлено Рикардо Пересом).

Пространство, которое люди воспринимают и в котором мы движемся, является трехмерным (3-D) пространством, в котором выполняются аксиомы и теоремы геометрии Евклида. В этом пространстве содержатся двумерные подпространства (плоскости) и одномерные подпространства (линии).

Евклидовы пространства могут быть одномерными (1-D), двумерными (2-D), трехмерными (3-D) или n-мерными (nD).

Точки в одномерном пространстве X - это те, которые принадлежат ориентированной прямой (OX), направление от O к X - положительное направление. Чтобы найти точки на этой линии, используется декартова система, которая заключается в присвоении номера каждой точке линии.

формула

Евклидово расстояние d (A, B) между точками A и B, расположенными на прямой, определяется как квадратный корень из квадрата разностей их координат X:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Это определение гарантирует следующее: расстояние между двумя точками всегда положительное значение. И что расстояние между A и B равно расстоянию между B и A.

На рисунке 1 показано одномерное евклидово пространство, образованное линией (OX) и несколькими точками на этой линии. У каждой точки есть координата:

Точка A имеет координату XA = 2,5, координату точки B XB = 4 и координату точки C XC = -2,5.

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Евклидово расстояние в двух измерениях

Двумерное евклидово пространство - это плоскость. Точки евклидовой плоскости удовлетворяют аксиомам евклидовой геометрии, например:

- Одна линия проходит через две точки.

- Три точки на плоскости образуют треугольник, внутренние углы которого всегда составляют 180 °.

- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

В двух измерениях точка имеет координаты X и Y.

Например, точка P имеет координаты (XP, YP) ​​и координаты точки Q (XQ, YQ).

Евклидово расстояние между точками P и Q определяется по следующей формуле:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Следует отметить, что эта формула эквивалентна теореме Пифагора, как показано на рисунке 2.

Рис. 2. Расстояние между двумя точками P и Q на плоскости удовлетворяет теореме Пифагора. (Подготовлено Рикардо Пересом).

Неевклидовы поверхности

Не все двумерные пространства соответствуют евклидовой геометрии. Поверхность сферы - это двумерное пространство.

Сумма углов треугольника на сферической поверхности не равна 180 °, и при этом теорема Пифагора не выполняется, поэтому сферическая поверхность не удовлетворяет аксиомам Евклида.

Евклидово расстояние в n измерениях

Понятие координат можно расширить до более крупных размеров:

- В двухмерной точке P имеет координаты (XP, YP)

- В 3-D точка Q имеет координаты (XQ, YQ, ZQ)

- В 4-D точка R будет иметь координаты (XR, YR, ZR, WR)

- В nD точка P будет иметь координаты (P1, P2, P3,… .., Pn)

Расстояние между двумя точками P и Q n-мерного евклидова пространства вычисляется по следующей формуле:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

Геометрическое место всех точек Q в n-мерном евклидовом пространстве, равноудаленном от другой фиксированной точки P (центра), образуют n-мерную гиперсферу.

Как рассчитать евклидово расстояние

Ниже показано, как рассчитывается расстояние между двумя точками, расположенными в трехмерном евклидовом пространстве.

Предположим, что точка A имеет декартовы координаты x, y, z, заданные как A :( 2, 3, 1), и точка B с координатами B :( -3, 2, 2).

Мы хотим определить расстояние между этими точками, для чего используется общее соотношение:

d (A, B) = √ ((-3-2) 2 + (2-3) 2 + (2-1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

пример

Есть две точки P и Q. Точка P с декартовыми координатами x, y, z, заданными как P :( 2, 3, 1), и точка Q с координатами Q :( -3, 2, 1).

Требуется найти координаты средней точки M отрезка, соединяющего две точки.

Предполагается, что неизвестная точка M имеет координаты (X, Y, Z).

Поскольку M - середина, должно быть верно, что d (P, M) = d (Q, M), поэтому d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 также должно быть истинным:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Поскольку в этом случае третий член равен в обоих членах, предыдущее выражение упрощается до:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Тогда у нас есть уравнение с двумя неизвестными X и Y. Для решения проблемы требуется другое уравнение.

Точка M принадлежит прямой, проходящей через точки P и Q, которые мы можем вычислить следующим образом:

Сначала находим управляющий вектор PQ линии: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Тогда PM = OP + a PQ , где OP - вектор положения точки P и параметр, принадлежащий действительным числам.

Вышеупомянутое уравнение известно как векторное уравнение прямой, которое в декартовых координатах принимает следующий вид:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Приравнивая соответствующие компоненты, получаем:

Х - 2 = 2-5 а; Y - 3 = 3 -а; Z - 1 = 0

То есть X = 4 - 5a, Y = 6 - a, наконец, Z = 1.

Он подставляется в квадратное выражение, связывающее X с Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Это упрощено:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Теперь разворачивается:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Это упрощается, отменяя одинаковые условия в обоих членах:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Параметр a очищается:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, в результате чего a = 1.

То есть X = 4-5, Y = 6-1, наконец, Z = 1.

В итоге получаем декартовы координаты средней точки M отрезка:

М: (-1, 5, 1).

Ссылки

1. Леманн К. (1972) Аналитическая геометрия. Утеха.
2. Superprof. Расстояние между двумя точками. Получено с: superprof.es
3. НАУ. Расстояние между аффинными сублинейными многообразиями. Получено с: prometeo.matem.unam.mx/
4. википедия. Евклидово расстояние. Получено с: es.wikipedia.com
5. википедия. Евклидово пространство. Получено с: es.wikipedia.com