РАЗНИЦА КУБИКОВ: ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Разность кубов является биномиальным алгебраическим выражением вида а ³ - Ь ³ , где условие А и В могут быть действительными числами или алгебраическими выражениями различных типов. Пример разности кубиков: 8 - x ³ , так как 8 можно записать как 2 ³ .

Геометрически мы можем представить себе большой куб со стороной a, из которого вычитается маленький куб со стороной b, как показано на рисунке 1:

Рисунок 1. Разница кубиков. Источник: Ф. Сапата.

Объем получившейся фигуры как раз и есть разность кубиков:

V = а ³ - б ³

Чтобы найти альтернативное выражение, можно заметить, что эту фигуру можно разложить на три призмы, как показано ниже:

Рисунок 2. Разность кубов (слева от равенства) равна сумме парциальных объемов (справа). Источник: Ф. Сапата.

Призма имеет объем, равный произведению ее трех измерений: ширина x высота x глубина. Таким образом, итоговый объем будет:

V = a ³ - b ³ = a ^2. B + b ³ + ab ²

Фактор b является общим справа. Более того, на приведенном выше рисунке особенно верно то, что:

Ь = (а / 2) ⇒ а = Ь + Ь

Следовательно, можно сказать, что: b = a - b. Таким образом:

Такой способ выражения разности кубов окажется очень полезным во многих приложениях и был бы получен таким же образом, даже если бы сторона отсутствующего куба в углу была отличной от b = a / 2.

Обратите внимание, что вторые круглые скобки очень напоминают примечательное произведение квадрата суммы, но перекрестный член не умножается на 2. Читатель может развернуть правую часть, чтобы убедиться, что действительно получается a ³ - b ³ .

Примеры

Есть несколько отличий кубиков:

1 - м ⁶

a ⁶ b ³ - 8 z ¹² и ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Давайте проанализируем каждого из них. В первом примере 1 можно записать как 1 = 1 ^3, а член m ⁶ станет: (m ² ) ³ . Оба термина являются идеальными кубиками, поэтому их разница в следующем:

1 - м ⁶ = 1 ³ - (м ² ) ³

Во втором примере термины переписываются:

а ⁶ б ³ = (а ² б) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Разница этих кубиков: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Наконец, дробь (1/125) равна (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ и y ⁹ = (y ³ ) ³ . Подставив все это в исходное выражение, получим:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Учет разницы кубов

Факторизация разности кубов упрощает многие алгебраические операции. Для этого просто воспользуйтесь приведенной выше формулой:

Рисунок 3. Факторизация разности кубов и выражение замечательного частного. Источник: Ф. Сапата.

Теперь процедура применения этой формулы состоит из трех шагов:

- В первую очередь получается кубический корень из каждого члена разности.

- Затем строятся бином и трехчлен, которые появляются в правой части формулы.

- Наконец, бином и трехчлен заменяются, чтобы получить окончательную факторизацию.

Давайте проиллюстрируем использование этих шагов с каждым из предложенных выше примеров разности кубов и, таким образом, получим его факторизованный эквивалент.

Пример 1

Разложите выражение на множители 1 - m ^6, следуя описанным шагам. Начнем с того, что переписываем выражение как 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, чтобы извлечь соответствующие кубические корни каждого члена:

Далее строятся двучлен и трехчлен:

а = 1

б = м ²

Так:

а - б = 1 - м ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1. m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Наконец, он подставляется в формулу a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - м ⁶ = (1 - м ² ) (1 + м ² + м ⁴ )

Пример 2

факторизовать:

а ⁶ б ³ -8z ¹² г ⁶ = (а ² б) ³ - (2z ⁴ у ² ) ³

Поскольку это идеальные кубы, кубические корни сразу же: a ² b и 2z ⁴ и ² , отсюда следует, что:

- Биномиальные: a ² b - 2z ⁴ и ²

- Трехчлен: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

И вот желаемая факторизация построена:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). знак равно

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

В принципе, факторинг готов, но часто приходится упрощать каждый термин. Затем создается замечательный продукт - квадрат суммы -, который появляется в конце, и затем добавляются подобные термины. Помните, что квадрат суммы равен:

Примечательный продукт справа разработан следующим образом:

(a ² b + 2z ⁴ и ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ и ² + 4z ⁸ и ⁴

Подставляя полученное разложение в факторизацию разности кубов:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). знак равно

Наконец, группируя одинаковые члены и факторизуя числовые коэффициенты, которые все четные, мы получаем:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Пример 3

Факторинг (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ намного проще, чем в предыдущем случае. Сначала идентифицируются эквиваленты a и b:

а = (1/5) х ²

б = 3у ³

Затем они напрямую подставляются в формулу:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Упражнение решено

Как мы уже говорили, кубы имеют множество приложений в алгебре. Посмотрим:

Упражнение 1

Решите следующие уравнения:

а) х ⁵ - 125 х ² = 0

б) 64 - 729 х ³ = 0

Решение для

Сначала уравнение факторизуется следующим образом:

х ² (х ³ - 125) = 0

Поскольку 125 - идеальный куб, круглые скобки записываются как разность кубов:

х ² . (х ³ - 5 ³ ) = 0

Первое решение - x = 0, но мы найдем больше, если сделаем x ³ - 5 ³ = 0, тогда:

х ³ = 5 ³ → х = 5

Решение б

Левая часть уравнения переписывается как 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Таким образом:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Поскольку показатель такой же:

9х = 4 → х = 9/4

Упражнение 2.

Разложите выражение на множители:

(х + у) ³ - (х - у) ³

Решение

Это выражение представляет собой разность кубов, если в формуле факторизации отметить, что:

а = х + у

б = х- у

Затем сначала строится бином:

а - Ь = х + у - (х- у) = 2у

А теперь трехчлен:

а ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Примечательные продукты разработаны:

Затем вам нужно заменить и сократить подобные термины:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Факторинг приводит к:

(х + у) ³ - (х - у) ³ = 2у. (3x ² + y ² )

Ссылки

1. Балдор, А. 1974. Алгебра. Редакция Cultural Venezolana SA
2. Фундамент СК-12. Сумма и разность кубиков. Получено с: ck12.org.
3. Ханская академия. Факторинг разностей кубов. Получено с: es.khanacademy.org.
4. Математика - это весело для продвинутых. Разница двух кубиков. Получено с: mathsisfun.com
5. НАУ. С учетом разницы кубов. Получено с: dcb.fi-c.unam.mx.