- Обозначение частной производной
- Расчет и значение частной производной
- Примеры частных производных
- Пример 1
- Пример 2
- упражнения
- Упражнение 1
- Решение:
- Упражнение 2.
- Решение:
- Ссылки
Эти частные производные от функции нескольких переменных являются те , которые определяют скорость изменения функции , когда одна из переменных имеет бесконечно малую вариацию, в то время как другие переменные остаются неизменными.
Чтобы сделать идею более конкретной, предположим случай функции двух переменных: z = f (x, y). Частная производная функции f по переменной x вычисляется как обычная производная по x, но с учетом переменной y, как если бы она была постоянной.

Рис. 1. Функция f (x, y) и ее частные производные ∂ x f y ∂ y f в точке P. (Разработано Р. Пересом с помощью геогебры)
Обозначение частной производной
Операция частной производной функции f (x, y) по переменной x обозначается любым из следующих способов:

В частных производных используется символ ∂ (разновидность закругленной буквы d, также называемой d Якоби), в отличие от обычной производной для функций с одной переменной, где буква d используется для обозначения производной.
В общих чертах, частная производная многомерной функции по одной из ее переменных приводит к новой функции в тех же переменных исходной функции:
∂ х е (х, у) = г (х, у)
∂ y f (x, y) = h (x, y).
Расчет и значение частной производной
Чтобы определить скорость изменения или наклон функции для определенной точки (x = a, y = b) в направлении, параллельном оси X:
1- Функция ∂ x f (x, y) = g (x, y) вычисляется , принимая обычную производную в переменной x и оставляя переменную y фиксированной или постоянной.
2- Затем подставляется значение точки x = a и y = b, в котором мы хотим знать скорость изменения функции в направлении x:
{Наклон в направлении x в точке (a, b)} = ∂ x f (a, b).
3- Чтобы вычислить скорость изменения направления y в координатной точке (a, b), сначала вычислите ∂ и f (x, y) = h (x, y).
4- Затем точка (x = a, y = b) подставляется в предыдущий результат, чтобы получить:
{Наклон в направлении y в точке (a, b)} = ∂ y f (a, b)
Примеры частных производных
Вот некоторые примеры частных производных:
Пример 1
Учитывая функцию:
е (х, у) = -х ^ 2 - у ^ 2 + 6
Найдите частные производные функции f по переменной x и переменной y.
Решение:
∂ xf = -2x
∂ yf = -2y
Заметим, что для вычисления частной производной функции f по переменной x выполнялась обычная производная по x, но переменная y бралась как постоянная. Точно так же при вычислении частной производной f по y переменная x была взята, как если бы она была константой.
Функция f (x, y) представляет собой поверхность, называемую параболоидом, показанную на рисунке 1 охристым цветом.
Пример 2
Найдите скорость изменения (или наклон) функции f (x, y) из примера 1 в направлении оси X и оси Y для точки (x = 1, y = 2).
Решение: чтобы найти наклоны в направлениях x и y в данной точке, просто подставьте значения точки в функцию ∂ x f (x, y) и в функцию ∂ y f (x, y):
∂ x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2
∂ и f (1,2) = -2⋅ 2 = -4
На рис. 1 показана касательная (красным цветом) к кривой, определяемой пересечением функции f (x, y) с плоскостью y = 2, наклон этой прямой равен -2. На рис. 1 также показана касательная (зеленым цветом) к кривой, которая определяет пересечение функции f с плоскостью x = 1; Эта линия имеет наклон -4.
упражнения
Упражнение 1
Конический стакан в данный момент времени содержит воду, так что поверхность воды имеет радиус r и глубину h. Но в дне стакана есть небольшое отверстие, через которое вода теряется со скоростью C кубических сантиметров в секунду. Определите скорость спуска с поверхности воды в сантиметрах в секунду.

Решение:
Прежде всего, необходимо помнить, что объем воды в данный момент составляет:
Объем является функцией двух переменных, радиуса r и глубины h: V (r, h).
Когда объем изменяется на бесконечно малую величину dV, радиус r водной поверхности и глубина h воды также изменяются в соответствии со следующей зависимостью:
dV = ∂ r V dr + ∂ h V dh
Перейдем к вычислению частных производных V по r и h соответственно:
∂ r V = ∂ r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh
∂ h V = ∂ h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2
Кроме того, радиус r и глубина h соответствуют следующему соотношению:
Разделив оба члена на разницу во времени dt, получим:
dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)
Но dV / dt - это объем воды, потерянный за единицу времени, который, как известно, составляет C сантиметров в секунду, а dh / dt - это скорость спуска свободной поверхности воды, которую мы будем называть v. То есть поверхность воды в данный момент опускается со скоростью v (в см / с), определяемой по формуле:
v = C / (π r ^ 2).
В качестве численного приложения предположим, что r = 3 см, h = 4 см, а скорость утечки C составляет 3 см ^ 3 / с. Тогда скорость спуска поверхности в этот момент будет:
v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 см / с = 1,1 мм / с.
Упражнение 2.
Теорема Клеро-Шварца утверждает, что если функция непрерывна по своим независимым переменным и ее частные производные по независимым переменным также непрерывны, то смешанные производные второго порядка можно менять местами. Проверьте эту теорему для функции
f (x, y) = x ^ 2 y, то есть должно быть верно, что f xy f = ∂ yx f.
Решение:
∂ xy f = ∂ x (∂ y f), а ∂ yx f = ∂ y (∂ x f)
∂ x f = 2 xy; ∂ у е = х ^ 2
∂ xy f = ∂ x (∂ y f) = 2x
∂ yx f = ∂ y (∂ x f) = 2x
Доказано, что теорема Шварца верна, поскольку функция f и ее частные производные непрерывны для всех действительных чисел.
Ссылки
- Фрэнк Эйрес, Дж. И Мендельсон, Э. (2000). Расчет 5ед. Мак Гроу Хилл.
- Лейтольд, Л. (1992). Расчет с аналитической геометрией. HARLA, SA
- Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Расчет. Мексика: Pearson Education.
- Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление. Гипотенузы.
- Саенс, Дж. (2006). Интегральное исчисление. Гипотенузы.
- Wikipedia. Частная производная. Получено с: es.wikipedia.com
