ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ: ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИМЕРЫ И РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Эти частные производные от функции нескольких переменных являются те , которые определяют скорость изменения функции , когда одна из переменных имеет бесконечно малую вариацию, в то время как другие переменные остаются неизменными.

Чтобы сделать идею более конкретной, предположим случай функции двух переменных: z = f (x, y). Частная производная функции f по переменной x вычисляется как обычная производная по x, но с учетом переменной y, как если бы она была постоянной.

Рис. 1. Функция f (x, y) и ее частные производные ∂ _x f y ∂ _y f в точке P. (Разработано Р. Пересом с помощью геогебры)

Обозначение частной производной

Операция частной производной функции f (x, y) по переменной x обозначается любым из следующих способов:

В частных производных используется символ ∂ (разновидность закругленной буквы d, также называемой d Якоби), в отличие от обычной производной для функций с одной переменной, где буква d используется для обозначения производной.

В общих чертах, частная производная многомерной функции по одной из ее переменных приводит к новой функции в тех же переменных исходной функции:

∂ _х е (х, у) = г (х, у)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Расчет и значение частной производной

Чтобы определить скорость изменения или наклон функции для определенной точки (x = a, y = b) в направлении, параллельном оси X:

1- Функция ∂ _x f (x, y) = g (x, y) вычисляется , принимая обычную производную в переменной x и оставляя переменную y фиксированной или постоянной.

2- Затем подставляется значение точки x = a и y = b, в котором мы хотим знать скорость изменения функции в направлении x:

{Наклон в направлении x в точке (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Чтобы вычислить скорость изменения направления y в координатной точке (a, b), сначала вычислите ∂ _и f (x, y) = h (x, y).

4- Затем точка (x = a, y = b) подставляется в предыдущий результат, чтобы получить:

{Наклон в направлении y в точке (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Примеры частных производных

Вот некоторые примеры частных производных:

Пример 1

Учитывая функцию:

е (х, у) = -х ^ 2 - у ^ 2 + 6

Найдите частные производные функции f по переменной x и переменной y.

Решение:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Заметим, что для вычисления частной производной функции f по переменной x выполнялась обычная производная по x, но переменная y бралась как постоянная. Точно так же при вычислении частной производной f по y переменная x была взята, как если бы она была константой.

Функция f (x, y) представляет собой поверхность, называемую параболоидом, показанную на рисунке 1 охристым цветом.

Пример 2

Найдите скорость изменения (или наклон) функции f (x, y) из примера 1 в направлении оси X и оси Y для точки (x = 1, y = 2).

Решение: чтобы найти наклоны в направлениях x и y в данной точке, просто подставьте значения точки в функцию ∂ _x f (x, y) и в функцию ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _и f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

На рис. 1 показана касательная (красным цветом) к кривой, определяемой пересечением функции f (x, y) с плоскостью y = 2, наклон этой прямой равен -2. На рис. 1 также показана касательная (зеленым цветом) к кривой, которая определяет пересечение функции f с плоскостью x = 1; Эта линия имеет наклон -4.

упражнения

Упражнение 1

Конический стакан в данный момент времени содержит воду, так что поверхность воды имеет радиус r и глубину h. Но в дне стакана есть небольшое отверстие, через которое вода теряется со скоростью C кубических сантиметров в секунду. Определите скорость спуска с поверхности воды в сантиметрах в секунду.

Решение:

Прежде всего, необходимо помнить, что объем воды в данный момент составляет:

Объем является функцией двух переменных, радиуса r и глубины h: V (r, h).

Когда объем изменяется на бесконечно малую величину dV, радиус r водной поверхности и глубина h воды также изменяются в соответствии со следующей зависимостью:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Перейдем к вычислению частных производных V по r и h соответственно:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Кроме того, радиус r и глубина h соответствуют следующему соотношению:

Разделив оба члена на разницу во времени dt, получим:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Но dV / dt - это объем воды, потерянный за единицу времени, который, как известно, составляет C сантиметров в секунду, а dh / dt - это скорость спуска свободной поверхности воды, которую мы будем называть v. То есть поверхность воды в данный момент опускается со скоростью v (в см / с), определяемой по формуле:

v = C / (π r ^ 2).

В качестве численного приложения предположим, что r = 3 см, h = 4 см, а скорость утечки C составляет 3 см ^ 3 / с. Тогда скорость спуска поверхности в этот момент будет:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 см / с = 1,1 мм / с.

Упражнение 2.

Теорема Клеро-Шварца утверждает, что если функция непрерывна по своим независимым переменным и ее частные производные по независимым переменным также непрерывны, то смешанные производные второго порядка можно менять местами. Проверьте эту теорему для функции

f (x, y) = x ^ 2 y, то есть должно быть верно, что f _xy f = ∂ _yx f.

Решение:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), а ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _у е = х ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Доказано, что теорема Шварца верна, поскольку функция f и ее частные производные непрерывны для всех действительных чисел.

Ссылки

1. Фрэнк Эйрес, Дж. И Мендельсон, Э. (2000). Расчет 5ед. Мак Гроу Хилл.
2. Лейтольд, Л. (1992). Расчет с аналитической геометрией. HARLA, SA
3. Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Расчет. Мексика: Pearson Education.
4. Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление. Гипотенузы.
5. Саенс, Дж. (2006). Интегральное исчисление. Гипотенузы.
6. Wikipedia. Частная производная. Получено с: es.wikipedia.com