АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ (С ПРИМЕРАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2026

В алгебраических производных состоят из изучения производной в случае алгебраических функций. Происхождение понятия производного инструмента восходит к Древней Греции. Развитие этого понятия было мотивировано необходимостью решения двух важных проблем: одной в физике, а другой - в математике.

В физике производная решает задачу определения мгновенной скорости движущегося объекта. В математике он позволяет найти касательную к кривой в заданной точке.

Хотя на самом деле существует гораздо больше проблем, которые решаются с помощью производной, а также ее обобщений, результаты пришли после введения ее концепции.

Пионеры дифференциального исчисления - Ньютон и Лейбниц. Прежде чем дать формальное определение, мы собираемся развить его идею с математической и физической точки зрения.

Производная как наклон касательной к кривой

Предположим, что график функции y = f (x) является непрерывным графом (без пиков, вершин или зазоров), и пусть A = (a, f (a)) - неподвижная точка на нем. Мы хотим найти уравнение касательной к графику функции f в точке A.

Возьмем любую другую точку P = (x, f (x)) на графике, близкую к точке A, и проведем секущую линию, проходящую через точки A и P. Секущая линия - это линия, которая разрезает график кривой на единицу. или больше очков.

Чтобы получить желаемую касательную линию, нам нужно только вычислить наклон, поскольку у нас уже есть точка на прямой: точка A.

Если мы перемещаем точку P по графику и приближаемся к точке A, ранее упомянутая секущая линия приблизится к касательной, которую мы хотим найти. Если взять предел, когда «P стремится к A», обе линии будут совпадать, следовательно, и их наклоны.

Наклон секущей линии определяется выражением

Сказать, что P приближается к A, равносильно заявлению, что «x» приближается к «a». Таким образом, наклон касательной к графику функции f в точке A будет равен:

Вышеприведенное выражение обозначается f '(a) и определяется как производная функции f в точке «a». Таким образом, мы видим, что аналитически производная функции в точке является пределом, но геометрически это наклон касательной к графику функции в точке.

Теперь посмотрим на это понятие с точки зрения физики. Мы придем к тому же выражению, что и предыдущий предел, хотя и другим путем, и таким образом получим единство определения.

Производная как мгновенная скорость движущегося объекта

Давайте посмотрим на краткий пример того, что означает мгновенная скорость. Когда говорят, например, что машина, направляясь к месту назначения, двигалась со скоростью 100 км в час, это означает, что за час она проехала 100 км.

Это не обязательно означает, что в течение всего часа машина всегда была 100 км, спидометр автомобиля мог в какие-то моменты показывать меньше или больше. Если вам нужно было остановиться на светофоре, ваша скорость в это время составляла 0 км. Однако через час путь составил 100 км.

Это то, что известно как средняя скорость и определяется как отношение пройденного расстояния и прошедшего времени, как мы только что видели. С другой стороны, мгновенная скорость - это скорость, которая отмечает стрелку спидометра автомобиля в данный момент (время).

Давайте теперь посмотрим на это в более общем плане. Предположим, что объект движется вдоль линии, и это смещение представлено уравнением s = f (t), где переменная t измеряет время, а переменная s - смещение, учитывая его начало в момент t = 0, в этот момент он также равен нулю, то есть f (0) = 0.

Эта функция f (t) известна как функция положения.

Ищется выражение для мгновенной скорости объекта в фиксированный момент «а». При такой скорости обозначим его V (a).

Пусть t будет любым моментом, близким к моменту «а». Во временном интервале между «a» и «t» изменение положения объекта определяется выражением f (t) -f (a).

Средняя скорость в этот промежуток времени составляет:

Что является приближением мгновенной скорости V (a). Это приближение будет лучше, чем ближе t к "a". Таким образом,

Обратите внимание, что это выражение такое же, как полученное в предыдущем случае, но с другой точки зрения. Это то, что известно как производная функции f в точке «a» и обозначается f '(a), как указано выше.

Обратите внимание, что при изменении h = xa мы получаем, что, когда «x» стремится к «a», «h» стремится к 0, а предыдущий предел преобразуется (эквивалентно) в:

Оба выражения эквивалентны, но иногда лучше использовать одно вместо другого, в зависимости от случая.

Тогда производная функции f в любой точке «x», принадлежащей ее области определения, определяется в более общем виде как

Наиболее распространенное обозначение для представления производной функции y = f (x) - это то, что мы только что видели (f 'или y'). Однако другая широко используемая нотация - это нотация Лейбница, которая представлена ​​любым из следующих выражений:

Поскольку производная по существу является пределом, она может существовать, а может и не существовать, поскольку пределы не всегда существуют. Если он существует, то данная функция называется дифференцируемой в данной точке.

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция - это комбинация многочленов посредством сложения, вычитания, произведений, частных, степеней и радикалов.

Многочлен - это выражение вида

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Где n - натуральное число, а все a _i , i = 0,1, …, n, - рациональные числа и _n 0. В этом случае говорят, что степень этого многочлена равна n.

Ниже приведены примеры алгебраических функций:

Экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции сюда не включены. Правила вывода, которые мы увидим ниже, действительны для функций в целом, но мы ограничимся и применим их в случае алгебраических функций.

Правила обхода

Производная константы

Утверждает, что производная константы равна нулю. То есть, если f (x) = c, то f '(x) = 0. Например, производная постоянной функции 2 равна 0.

Производная от мощности

Если f (x) = x ⁿ , то f '(x) = nx ^n-1 . Например, производная x ³ равна 3x ² . Как следствие этого, мы получаем, что производная тождественной функции f (x) = x равна f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Другой пример: пусть f (x) = 1 / x ² , тогда f (x) = x ^-2 и f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Это свойство также является действительными корнями, поскольку корни являются рациональными степенями, и в этом случае также можно применить вышеуказанное. Например, производная квадратного корня определяется выражением

Производная от сложения и вычитания

Если f и g - дифференцируемые функции по x, то сумма f + g также дифференцируема, и выполняется условие (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Точно так же имеем (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Другими словами, производная суммы (вычитание) - это сумма (или вычитание) производных.

пример

Если h (x) = x ² + x-1, то

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Получено из продукта

Если f и g - дифференцируемые функции по x, то произведение fg также дифференцируемо по x, и верно, что

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Как следствие, следует, что если c - постоянная, а f - дифференцируемая функция по x, то cf также дифференцируема по x и (cf) '(x) = cf' (X).

пример

Если f (x) = 3x (x ² +1), то

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9х ² +3.

Производная частного

Если f и g дифференцируемы в x и g (x) ≠ 0, то f / g также дифференцируемы в x, и верно, что

Пример: если h (x) = x ³ / (x ² -5x), то

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Правило цепи

Это правило позволяет вывести состав функций. Сформулируйте следующее: если y = f (u) дифференцируема в u, yu = g (x) дифференцируема в x, то составная функция f (g (x)) дифференцируема в x, и верно, что '= f '(g (x)) g' (x).

То есть производная сложной функции является произведением производной внешней функции (внешней производной) и производной внутренней функции (внутренней производной).

пример

Если f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , то

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Существуют также результаты для вычисления производной обратной функции, а также обобщения на производные более высокого порядка. Приложения обширны. Среди них выделяются его полезность в задачах оптимизации, а также функции максимума и минимума.

Ссылки

1. Аларкон, С., Гонсалес, М., и Кинтана, Х. (2008). Дифференциальное исчисление. ITM.
2. Кабрера, В.М. (1997). Расчет 4000. Редакция Прогресо.
3. Кастаньо, HF (2005). Математика перед расчетом. Медельинский университет.
4. Эдуардо, Н. А. (2003). Введение в исчисление. Пороговые версии.
5. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
6. Перселл, Э.Дж., Ригдон, С.Е., и Варберг, Д.Е. (2007). Расчет. Pearson Education.
7. Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление (второе изд.). Баркисимето: Гипотенуза.
8. Томас, Великобритания, и Вейр, доктор медицины (2006). Расчет: несколько переменных. Pearson Education.