- Длина хорды круга
- Теорема о струнах
- Решенные упражнения на струнных
- - Упражнение 1
- Решение
- - Упражнение 2.
- Решение
- Шаг 1: получите каноническое уравнение окружности
- Шаг 2: определите сегменты для использования в теореме о струнах
- Ссылки
Аккорд , в плоской геометрии, является отрезок , который соединяет две точки на кривой. Линия, содержащая этот сегмент, называется секущей кривой. Часто это круг, но хорды, безусловно, могут быть нарисованы на многих других кривых, таких как эллипсы и параболы.
На рисунке 1 слева изображена кривая, которой принадлежат точки A и B. Хорда между A и B - это зеленый отрезок. Справа - окружность и одна из ее струн, поскольку можно рисовать бесконечности.

Рис. 1. Слева - хорда произвольной кривой, справа - хорда окружности. Источник: Wikimedia Commons.
В окружности особенно интересен его диаметр, который также называют большой хордой. Это хорда, которая всегда содержит центр окружности и имеет удвоенный радиус.
На следующем рисунке показаны радиус, диаметр, хорда, а также дуга окружности. Правильное определение каждого из них важно при решении проблем.

Рисунок 2. Элементы окружности. Источник: Wikimedia Commons.
Длина хорды круга
Мы можем рассчитать длину хорды в окружности по рисункам 3a и 3b. Обратите внимание, что треугольник всегда образуется с двумя равными сторонами (равнобедренными): отрезками OA и OB, которые измеряют R, радиус окружности. Третья сторона треугольника - это отрезок AB, называемый C, который в точности равен длине хорды.
Необходимо провести линию, перпендикулярную хорде C, чтобы разделить пополам угол θ, который существует между двумя радиусами и вершина которого является центром O окружности. Это центральный угол, потому что его вершина является центром, а биссектриса также является секущей окружности.
Сразу образуются два прямоугольных треугольника, гипотенуза которых равна R. Поскольку биссектриса, а вместе с ней и диаметр, делит хорду на две равные части, оказывается, что один из катетов составляет половину C, как показано в Рисунок 3b.
Из определения синуса угла:
sin (θ / 2) = противоположный катет / гипотенуза = (C / 2) / R
Таким образом:
грех (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sin (θ / 2)

Рис. 3. Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой окружности, является равнобедренным (рис. 3), поскольку у него две равные стороны. Биссектриса делит его на два прямоугольных треугольника (рис. 3b). Источник: подготовил Ф. Сапата.
Теорема о струнах
Теорема о струнах выглядит так:
На следующем рисунке показаны две хорды одинаковой длины: AB и CD, которые пересекаются в точке P. В хорде AB определены отрезки AP и PB, а в хорде CD определены CP и PD. Итак, согласно теореме:
AP. PB = CP. Постскриптум

Рис. 4. Теорема об хорде окружности. Источник: Ф. Сапата.
Решенные упражнения на струнных
- Упражнение 1
У круга есть хорда 48 см, которая находится в 7 см от центра. Вычислите площадь круга и периметр окружности.
Решение
Чтобы вычислить площадь круга A, достаточно знать радиус окружности в квадрате, поскольку это верно:
А = π.R 2
Теперь фигура, сформированная на основе предоставленных данных, представляет собой прямоугольный треугольник, ноги которого равны 7 и 24 см соответственно.

Рисунок 5. Геометрия решенного упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.
Следовательно, чтобы найти значение R 2 , непосредственно применяется теорема Пифагора c 2 = a 2 + b 2 , поскольку R - гипотенуза треугольника:
R 2 = (7 см) 2 + (24 см) 2 = 625 см 2
Итак, запрошенная область:
А = π. 625 см 2 = 1963,5 см 2
Что касается периметра или длины L окружности, она рассчитывается по формуле:
L = 2π. р
Подстановка значений:
R = √625 см 2 = 25 см
L = 2π. 25 см = 157,1 см.
- Упражнение 2.
Определите длину хорды круга, уравнение которого:
х 2 + у 2 - 6 х - 14 лет -111 = 0
Координаты середины хорды известны как P (17/2; 7/2).
Решение
Середина хорды P не принадлежит окружности, но конечные точки хорды принадлежат. Проблему можно решить, используя ранее сформулированную теорему о струнах, но сначала удобно записать уравнение окружности в канонической форме, чтобы определить ее радиус R и центр O.
Шаг 1: получите каноническое уравнение окружности
Каноническое уравнение круга с центром (h, k):
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
Для его получения необходимо заполнить квадраты:
(x 2 - 6x) + (y 2 - 14y) -111 = 0
Обратите внимание, что 6x = 2 (3x) и 14y = 2 (7y), так что предыдущее выражение переписывается следующим образом, оставаясь без изменений:
(x 2 - 6x + 3 2 --3 2 ) + (y 2 - 14y + 7 2 - 7 2 ) -111 = 0
А теперь, вспомнив определение замечательного продукта (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , можно написать:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
Окружность имеет центр (3,7) и радиус R = √169 = 13. На следующем рисунке показан график длины окружности и хорд, которые будут использоваться в теореме:

Рисунок 6. График окружности решенного упражнения 2. Источник: Ф. Сапата с использованием онлайн-калькулятора Mathway.
Шаг 2: определите сегменты для использования в теореме о струнах
Используемые сегменты - это струны CD и AB, как показано на рисунке 6, обе обрезаются в точке P, поэтому:
CP. PD = AP. PB
Теперь мы собираемся найти расстояние между точками O и P, так как это даст нам длину отрезка OP. Если мы добавим радиус к этой длине, у нас будет отрезок CP.
Расстояние d OP между двумя координатными точками (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) составляет:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 = (3-17/ 2 ) 2 + (7-7/ 2 ) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
Со всеми полученными результатами и графиком мы составляем следующий список сегментов (см. Рисунок 6):
CO = 13 см = R
OP = √170 / 2 см
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 см
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 см
AP = PB
2.AP = длина хорды
Подставляя в теорему о струнах:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
Длина строки 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
Может ли читатель решить проблему по-другому?
Ссылки
- Балдор, А. 2004. Плоская и космическая геометрия с тригонометрией. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- С-К12. Длина аккорда. Получено с: ck12.org.
- Эскобар, Дж. Окружность. Получено с: matematicas.udea.edu.co.
- Виллена, М. Коникас. Получено с: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Веревка (Геометрия). Получено с: es.wikipedia.org.
