СКАКАЛКА (ГЕОМЕТРИЯ): ДЛИНА, ТЕОРЕМА И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Аккорд , в плоской геометрии, является отрезок , который соединяет две точки на кривой. Линия, содержащая этот сегмент, называется секущей кривой. Часто это круг, но хорды, безусловно, могут быть нарисованы на многих других кривых, таких как эллипсы и параболы.

На рисунке 1 слева изображена кривая, которой принадлежат точки A и B. Хорда между A и B - это зеленый отрезок. Справа - окружность и одна из ее струн, поскольку можно рисовать бесконечности.

Рис. 1. Слева - хорда произвольной кривой, справа - хорда окружности. Источник: Wikimedia Commons.

В окружности особенно интересен его диаметр, который также называют большой хордой. Это хорда, которая всегда содержит центр окружности и имеет удвоенный радиус.

На следующем рисунке показаны радиус, диаметр, хорда, а также дуга окружности. Правильное определение каждого из них важно при решении проблем.

Рисунок 2. Элементы окружности. Источник: Wikimedia Commons.

Длина хорды круга

Мы можем рассчитать длину хорды в окружности по рисункам 3a и 3b. Обратите внимание, что треугольник всегда образуется с двумя равными сторонами (равнобедренными): отрезками OA и OB, которые измеряют R, радиус окружности. Третья сторона треугольника - это отрезок AB, называемый C, который в точности равен длине хорды.

Необходимо провести линию, перпендикулярную хорде C, чтобы разделить пополам угол θ, который существует между двумя радиусами и вершина которого является центром O окружности. Это центральный угол, потому что его вершина является центром, а биссектриса также является секущей окружности.

Сразу образуются два прямоугольных треугольника, гипотенуза которых равна R. Поскольку биссектриса, а вместе с ней и диаметр, делит хорду на две равные части, оказывается, что один из катетов составляет половину C, как показано в Рисунок 3b.

Из определения синуса угла:

sin (θ / 2) = противоположный катет / гипотенуза = (C / 2) / R

Таким образом:

грех (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Рис. 3. Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой окружности, является равнобедренным (рис. 3), поскольку у него две равные стороны. Биссектриса делит его на два прямоугольных треугольника (рис. 3b). Источник: подготовил Ф. Сапата.

Теорема о струнах

Теорема о струнах выглядит так:

На следующем рисунке показаны две хорды одинаковой длины: AB и CD, которые пересекаются в точке P. В хорде AB определены отрезки AP и PB, а в хорде CD определены CP и PD. Итак, согласно теореме:

AP. PB = CP. Постскриптум

Рис. 4. Теорема об хорде окружности. Источник: Ф. Сапата.

Решенные упражнения на струнных

- Упражнение 1

У круга есть хорда 48 см, которая находится в 7 см от центра. Вычислите площадь круга и периметр окружности.

Решение

Чтобы вычислить площадь круга A, достаточно знать радиус окружности в квадрате, поскольку это верно:

А = π.R ²

Теперь фигура, сформированная на основе предоставленных данных, представляет собой прямоугольный треугольник, ноги которого равны 7 и 24 см соответственно.

Рисунок 5. Геометрия решенного упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.

Следовательно, чтобы найти значение R ² , непосредственно применяется теорема Пифагора c ² = a ² + b ² , поскольку R - гипотенуза треугольника:

R ² = (7 см) ² + (24 см) ² = 625 см ²

Итак, запрошенная область:

А = π. 625 см ² = 1963,5 см ²

Что касается периметра или длины L окружности, она рассчитывается по формуле:

L = 2π. р

Подстановка значений:

R = √625 см ² = 25 см

L = 2π. 25 см = 157,1 см.

- Упражнение 2.

Определите длину хорды круга, уравнение которого:

х ² + у ² - 6 х - 14 лет -111 = 0

Координаты середины хорды известны как P (17/2; 7/2).

Решение

Середина хорды P не принадлежит окружности, но конечные точки хорды принадлежат. Проблему можно решить, используя ранее сформулированную теорему о струнах, но сначала удобно записать уравнение окружности в канонической форме, чтобы определить ее радиус R и центр O.

Шаг 1: получите каноническое уравнение окружности

Каноническое уравнение круга с центром (h, k):

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Для его получения необходимо заполнить квадраты:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Обратите внимание, что 6x = 2 (3x) и 14y = 2 (7y), так что предыдущее выражение переписывается следующим образом, оставаясь без изменений:

(x ² - 6x + 3 ² --3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ^{2 -} 7 ² ) -111 = 0

А теперь, вспомнив определение замечательного продукта (ab) ² = a ² - 2ab + b ² , можно написать:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Окружность имеет центр (3,7) и радиус R = √169 = 13. На следующем рисунке показан график длины окружности и хорд, которые будут использоваться в теореме:

Рисунок 6. График окружности решенного упражнения 2. Источник: Ф. Сапата с использованием онлайн-калькулятора Mathway.

Шаг 2: определите сегменты для использования в теореме о струнах

Используемые сегменты - это струны CD и AB, как показано на рисунке 6, обе обрезаются в точке P, поэтому:

CP. PD = AP. PB

Теперь мы собираемся найти расстояние между точками O и P, так как это даст нам длину отрезка OP. Если мы добавим радиус к этой длине, у нас будет отрезок CP.

Расстояние d _OP между двумя координатными точками (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) составляет:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3-17/ ² ) ² + (7-7/ ² ) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Со всеми полученными результатами и графиком мы составляем следующий список сегментов (см. Рисунок 6):

CO = 13 см = R

OP = √170 / 2 см

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 см

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 см

AP = PB

2.AP = длина хорды

Подставляя в теорему о струнах:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Длина строки 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Может ли читатель решить проблему по-другому?

Ссылки

1. Балдор, А. 2004. Плоская и космическая геометрия с тригонометрией. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. С-К12. Длина аккорда. Получено с: ck12.org.
3. Эскобар, Дж. Окружность. Получено с: matematicas.udea.edu.co.
4. Виллена, М. Коникас. Получено с: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Веревка (Геометрия). Получено с: es.wikipedia.org.