СКОЛЬКО РЕШЕНИЙ ИМЕЕТ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ? - МАТЕМАТИКА - 2026

Квадратное уравнение или квадратное уравнение может иметь ноль, одно или два действительных решения, в зависимости от коэффициентов, которые появляются в указанном уравнении.

Если вы работаете с комплексными числами, вы можете сказать, что каждое квадратное уравнение имеет два решения.

Начнем с того, что квадратное уравнение - это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c - действительные числа, а x - переменная.

Говорят, что x1 является решением предыдущего квадратного уравнения, если замена x на x1 удовлетворяет уравнению, то есть если a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Если, например, у нас есть уравнение x²-4x + 4 = 0, то x1 = 2 является решением, поскольку (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Напротив, если мы подставим x2 = 0, мы получим (0) ²-4 (0) + 4 = 4, а поскольку 4 ≠ 0, то x2 = 0 не является решением квадратного уравнения.

Решения квадратного уравнения.

Количество решений квадратного уравнения можно разделить на два случая:

один.-

При работе с действительными числами квадратные уравнения могут иметь:

-Нулевые решения: то есть не существует действительного числа, которое удовлетворяет квадратному уравнению. Например, уравнение задано уравнением x² + 1 = 0, не существует такого действительного числа, которое удовлетворяет указанному уравнению, поскольку оба x² больше или равны нулю, а 1 строго больше нуля, поэтому их сумма будет больше строгий, чем ноль.

-Повторное решение: существует единственное действительное значение, которое удовлетворяет квадратному уравнению. Например, единственное решение уравнения x²-4x + 4 = 0 - x1 = 2.

-Два разных решения: есть два значения, которые удовлетворяют квадратному уравнению. Например, x² + x-2 = 0 имеет два разных решения: x1 = 1 и x2 = -2.

2.- В комплексных числах

При работе с комплексными числами квадратные уравнения всегда имеют два решения: z1 и z2, где z2 сопряжено с z1. Их также можно разделить на:

-Комплексы: решения имеют вид z = p ± qi, где p и q - действительные числа. Этот случай соответствует первому случаю в предыдущем списке.

-Чистые комплексы: это когда действительная часть решения равна нулю, то есть решение имеет вид z = ± qi, где q - действительное число. Этот случай соответствует первому случаю в предыдущем списке.

-Комплексы с мнимой частью, равной нулю: это когда комплексная часть решения равна нулю, то есть решение является действительным числом. Этот случай соответствует двум последним случаям в предыдущем списке.

Как найти решения квадратного уравнения?

Чтобы вычислить решения квадратного уравнения, используется формула, известная как «резольвента», которая гласит, что решения уравнения ax² + bx + c = 0 даются выражением на следующем изображении:

Величина, которая появляется в квадратном корне, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой «d».

Квадратное уравнение будет иметь:

-Два реальных решения тогда и только тогда, когда d> 0.

-Реальное решение повторяется тогда и только тогда, когда d = 0.

-Нулевые действительные решения (или два комплексных решения) тогда и только тогда, когда d <0.

Примеры:

-Решения уравнения x² + x-2 = 0 даются как:

-Уравнение x²-4x + 4 = 0 имеет повторное решение, которое дается следующим образом:

-Решения уравнения x² + 1 = 0 даются как:

Как видно из этого последнего примера, x2 является сопряженным с x1.

Ссылки

1. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения.: Как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
3. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
4. Хименес, Дж., Рофригес, М., и Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
5. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
6. Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
7. Салливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.