СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ: ПРИМЕРЫ И РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Эти сферические координаты представляют собой набор точек местоположения в трехмерном пространстве , состоящий из радиальной координаты и две угловых координат называемых полярными координат и азимутальная координат.

На рисунке 1, который мы видим ниже, показаны сферические координаты (r, θ, φ) точки M. Эти координаты относятся к ортогональной системе декартовых осей X, Y, Z с началом O.

Рис. 1. Сферические координаты (r, θ, φ) точки M. (wikimedia commons)

В этом случае координата r точки M - это расстояние от этой точки до начала координат O. Полярная координата θ представляет собой угол между положительной полуосью Z и радиус-вектором OM. В то время как азимутальная координата φ - это угол между положительной полуосью X и радиус-вектором OM ', где M' - ортогональная проекция M на плоскость XY.

Радиальная координата r принимает только положительные значения, но если точка находится в начале координат, тогда r = 0. Полярная координата θ принимает минимальное значение 0 ° для точек, расположенных на положительной полуоси Z, а максимальное значение 180 ° для точек находится на отрицательной полуоси Z. Наконец, азимутальная координата φ принимает минимальное значение 0 ° и максимальное значение 360 °.

0 ≤ г <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Изменение координат

Далее будут приведены формулы, позволяющие получить декартовы координаты (x, y, z) точки M, предполагая, что сферические координаты той же точки (r, θ, φ) известны:

х = г Sen (θ) Cos (φ)

у = г Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Таким же образом полезно найти отношения для перехода от декартовых координат (x, y, z) данной точки к сферическим координатам указанной точки:

г = √ (х ^ 2 + у ^ 2 + г ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Арктангенс (y / x)

Векторная база в сферических координатах

По сферическим координатам определяется ортонормированный базис базовых векторов, которые обозначаются Ur , Uθ , Uφ . На рисунке 1 показаны эти три единичных вектора, которые имеют следующие характеристики:

- Ur - единичный вектор, касательный к радиальной прямой θ = ctte и φ = ctte;

- Uθ - единичный вектор, касательный к дуге φ = ctte и r = ctte;

- Uφ - единичный вектор, касательный к дуге r = ctte и θ = ctte.

Элементы линий и объема в сферических координатах

Вектор положения точки в пространстве в сферических координатах записывается так:

г = г Ур

Но бесконечно малое изменение или смещение точки в трехмерном пространстве в этих координатах выражается следующим векторным соотношением:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Наконец, бесконечно малый объем dV в сферических координатах записывается так:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Эти соотношения очень полезны для вычисления линейных и объемных интегралов в физических ситуациях, обладающих сферической симметрией.

Связь с географическими координатами

Под географическими координатами понимаются те, которые служат для определения местоположения на поверхности земли. Эта система использует координаты широты и долготы для определения местоположения на поверхности Земли.

В географической системе координат предполагается, что земная поверхность имеет сферическую форму с радиусом Rt, даже если известно, что она сплющена на полюсах, и рассматривается набор воображаемых линий, называемых параллелями и меридианами.

Рис. 2. Долгота α и широта β наблюдателя на земной поверхности.

Широта β - это угол, образованный радиусом, который начинается от центра Земли до точки, которую вы хотите расположить. Она измеряется от экваториальной плоскости, как показано на рисунке 2. С другой стороны, долгота α - это угол, который образует меридиан точки, которая расположена, по отношению к нулевому меридиану (известному как меридиан Гринвича).

Широта может быть северной или южной широтой, в зависимости от того, находится ли место, где вы находитесь, в северном или южном полушарии. Точно так же долгота может быть западной или восточной в зависимости от того, находится ли местоположение к западу или востоку от нулевого меридиана.

Формулы для изменения с географической на сферическую

Чтобы получить эти формулы, прежде всего необходимо установить систему координат. Плоскость XY выбирается так, чтобы она совпадала с плоскостью экватора, положительная полуось X - это та, которая идет от центра Земли и проходит через нулевой меридиан. В свою очередь, ось Y проходит через меридиан 90º E. Земная поверхность имеет радиус Rt.

В этой системе координат преобразования из географического в сферический выглядят следующим образом:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Примеры

Пример 1

Географические координаты Пальма-де-Майорка (Испания):

38,847º восточной долготы и 39,570º северной широты. Для определения сферических координат, соответствующих Пальма-де-Майорка, применяется первая из формул, приведенных в предыдущем разделе:

38 847ºE 39 570ºN → (r = 6371 км, θ = 90º-39 570º, φ = 38 847º)

Итак, сферические координаты:

Пальма-де-Майорка: (r = 6371 км, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

В предыдущем ответе r было принято равным среднему радиусу Земли.

Пример 2

Зная, что Мальвинские (Фолклендские) острова имеют географические координаты 59ºO 51,75ºS, определите соответствующие полярные координаты. Помните, что ось X идет от центра Земли к меридиану 0º и в экваториальной плоскости; ось Y также находится в экваториальной плоскости и проходит через западный меридиан 90º; наконец, ось Z на оси вращения Земли в направлении юг-север.

Чтобы найти соответствующие сферические координаты, воспользуемся формулами, представленными в предыдущем разделе:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 км, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), то есть

Мальвинские острова: (r = 6371 км, θ = 141,75º, φ = 301º)

упражнения

Упражнение 1

Найдите декартовы координаты Пальмы-де-Майорки в декартовой системе координат XYZ, показанной на рисунке 2.

Решение: Ранее, в примере 1, сферические координаты были получены, начиная с географических координат Пальма-де-Майорка. Таким образом, представленные выше формулы можно использовать для перехода от сферической формы к декартовой:

x = 6371 км сен (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 км сен (50,43º) сен (38,85º)

z = 6371 км Cos (50,43º)

Выполняя соответствующие расчеты, получаем:

Пальма-де-Майорка: (x = 3825 км, y = 3081 км, z = 4059)

Упражнение 2.

Найдите декартовы координаты Фолклендских островов в декартовой системе координат XYZ, показанной на рисунке 2.

Решение: Ранее в примере 2 сферические координаты были получены исходя из географических координат Мальвинских островов. Таким образом, представленные выше формулы можно использовать для перехода от сферической формы к декартовой:

x = 6371 км Сен (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 км сен (141,75º) сен (301º)

z = 6371 км Cos (141,75º)

Выполняя соответствующие вычисления, получаем:

Фолклендские острова: (x = 2031 км, y = -3381 км, z = -5003)

Ссылки

1. Арфкен Г. и Вебер Х. (2012). Математические методы для физиков. Подробное руководство. 7-е издание. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Расчет cc. Решенные задачи цилиндрических и сферических координат. Получено с: calculo.cc
3. Астрономическая мастерская. Широта и долгота. Получено с: tarifamates.blogspot.com/
4. Вайсштейн, Эрик У. «Сферические координаты». Из MathWorld-A Wolfram Web. Получено с: mathworld.wolfram.com
5. википедия. Сферическая система координат. Получено с: en.wikipedia.com
6. википедия. Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах. Получено с: en.wikipedia.com