КОНЕЧНЫЙ НАБОР: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Под конечным набором понимается любой набор с ограниченным или счетным числом элементов. Примерами конечных множеств являются шарики, которые содержатся в сумке, множество домов по соседству или множество P, образованное первыми двадцатью (20) натуральными числами:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Набор звезд во Вселенной, несомненно, огромен, но точно неизвестно, конечен он или бесконечен. Однако набор планет в Солнечной системе конечен.

Рис. 1. Множество многоугольников конечно, как и подмножество правильных. (Wikimedia Commons)

Количество элементов в конечном множестве называется его мощностью, а для множества P оно обозначается следующим образом: Card ( P ) или # P. Пустое множество имеет нулевую мощность и считается конечным множеством.

свойства

Среди свойств конечных множеств можно выделить следующие:

1- Объединение конечных множеств дает начало новому конечному множеству.

2- Если два конечных множества пересекаются, получается новое конечное множество.

3. Подмножество конечного набора конечно, и его мощность меньше или равна мощности исходного набора.

4- Пустой набор - это конечный набор.

Примеры

Есть много примеров конечных множеств. Некоторые примеры включают следующее:

Набор M месяцев года, который в развернутом виде можно записать так:

M = {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь}, мощность M равна 12.

Набор S дней недели: S = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}. Мощность S равна 7.

Набор Ñ букв испанского алфавита - конечный набор, этот набор по расширению записывается так:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} и его мощность 27.

Набор V гласных в испанском языке является подмножеством набора Ñ:

Следовательно, V ⊂ Ñ - конечное множество.

Конечное множество V в развернутом виде записывается так: V = {a, e, i, o, u} и его мощность равна 5.

Наборы можно выразить пониманием. Набор F, составленный из букв слова «конечный», является примером:

F = {x / x - буква слова "конечный"}

Указанный набор в развернутой форме будет:

F = {f, i, n, t, o}, мощность которого равна 5 и, следовательно, является конечным множеством.

Еще примеры

Цвета радуги - еще один пример конечного набора, набор C этих цветов:

C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый} и его мощность равна 7.

Набор фаз F Луны - еще один пример конечного набора:

F = {Новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть} этот набор имеет мощность 4.

Рис. 2. Планеты Солнечной системы образуют конечное множество. (Pixabay)

Другой конечный набор образован планетами солнечной системы:

P = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} мощности 9.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Дан следующий набор A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Выразите его словами и напишите в расширении, укажите количество элементов и скажите, конечен он или нет.

Решение: Набор A - это набор действительных чисел x, таких что x в кубе, в результате 27.

Уравнение x ^ 3 = 27 имеет три решения: x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) и x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Из трех решений только x1 является действительным, а два других - комплексными числами.

Поскольку определение множества A гласит, что x принадлежит действительным числам, то решения комплексных чисел не являются частью множества A.

Множество A широко выражено:

A = {3}, которое является конечным множеством мощности 1.

Упражнение 2.

Запишите в символической форме (по понятным причинам) и в развернутой форме множество B действительных чисел, которые больше 0 (ноль) и меньше или равны 0 (ноль). Укажите его мощность и конечный ли он.

Решение: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

Множество B пусто, потому что действительное число x не может быть одновременно больше и меньше нуля, так же как оно не может быть 0 и меньше 0.

B = {} и его мощность равна 0. Пустое множество - это конечное множество.

Упражнение 3.

Дано множество S решений некоторого уравнения. Множество S по пониманию записывается так:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Запишите указанный набор в развернутой форме, укажите его количество и укажите, является ли он конечным набором.

Решение: Во-первых, при анализе выражения, описывающего множество S, получается, что это набор действительных значений x, которые являются решениями уравнения:

(х-3) (х ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Решением этого уравнения является x = 3, которое является действительным числом и, следовательно, принадлежит S. Но есть и другие решения, которые можно получить, ища решения квадратного уравнения:

(х ^ 2 - 9х + 20) = 0

Вышеприведенное выражение можно разложить на множители следующим образом:

(х - 4) (х - 5) = 0

Это приводит нас к еще двум решениям исходного уравнения (*): x = 4 и x = 5. Короче говоря, уравнение (*) имеет решения 3, 4 и 5.

Множество S, выраженное в развернутой форме, выглядит так:

S = {3, 4, 5}, который имеет мощность 3 и, следовательно, является конечным множеством.

Упражнение 4.

Есть два набора A = {1, 5, 7, 9, 11} и B = {x ∊ N / x четно ^ x <10}.

Напишите множество B явно и найдите объединение с множеством A. Также найдите точку пересечения этих двух множеств и сделайте вывод.

Решение: набор B состоит из таких натуральных чисел, что они четные и также меньше значения 10, поэтому в наборе B в развернутой форме это записывается следующим образом:

B = {2, 4, 6, 8}

Объединение множества A с множеством B:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

а перехват множества A с множеством B записывается так:

A ⋂ B = {} = Ø - пустое множество.

Следует отметить, что объединение и перехват этих двух конечных множеств приводит к новым множествам, которые, в свою очередь, также конечны.

Ссылки

1. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
3. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
4. Хименес, Дж., Родригес, М., Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
5. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
6. Математика 10 (2018). «Примеры конечных множеств». Получено с: matematicas10.net
7. Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
8. Салливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.
9. Wikipedia. Конечный набор. Получено с: es.wikipedia.com