КЛАССИФИКАЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ - НАУКА - 2025

Основная классификация действительных чисел делится на натуральные числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Реальные числа обозначаются буквой R.

Существует множество способов построения или описания различных действительных чисел, от более простых до более сложных, в зависимости от математической работы, которую необходимо выполнить.

Как классифицируются реальные числа?

- натуральные числа

Натуральные числа представлены буквой (n) и используются для подсчета (0,1,2,3,4…). Например, « в саду пятнадцать роз», «Население Мексики составляет 126 миллионов человек» или «Сумма два и два равна четырем ». Следует отметить, что некоторые классификации включают 0 как натуральное число, а другие нет.

Двое детей складывают два натуральных числа.

В натуральные числа не входят числа с десятичной частью. Следовательно, «Население Мексики составляет 126,2 миллиона человек» или «Температура 24,5 градуса по Цельсию» нельзя считать натуральными числами.

В просторечии, как, например, в начальной школе, натуральные числа можно назвать счетными числами, чтобы исключить отрицательные целые числа и ноль.

Натуральные числа - это основания, с помощью которых можно построить множество других наборов чисел путем расширения: целые числа, рациональные числа, действительные числа и комплексные числа, среди прочего.

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение первичных чисел, изучаются в теории чисел. Проблемы, связанные со счетом и упорядочиванием, такие как перечисление и разбиение, изучаются в комбинаторике.

У них есть несколько свойств, таких как: сложение, умножение, вычитание, деление и т. Д.

Порядковые и количественные числа

Натуральные числа могут быть порядковыми или кардинальными.

Кардинальные числа - это те, которые используются как натуральные числа, как мы упоминали ранее в примерах. «У меня два печенья», «Я отец троих детей», «В коробке два бесплатных крема».

Порядковые числа - это те, которые выражают порядок или указывают положение. Например, в гонке указывается порядок прибытия участников, начиная с победителя и заканчивая последним, кто достиг финиша.

Таким образом, будет сказано, что победитель - «первый», следующий - «второй», следующий - «третий» и так далее до последнего. Эти числа могут быть представлены буквой в верхней правой части для упрощения записи (1-й, 2-й, 3-й, 4-й и т. Д.).

- Целые числа

Целые числа состоят из этих натуральных чисел и их противоположностей, то есть отрицательных чисел (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Как и натуральные числа, сюда не входят числа с десятичной частью.

Примером целых чисел может быть «30º назад в среднем по Германии», «Я был на 0 в конце месяца», «Чтобы спуститься в подвал, вы должны нажать кнопку лифта -1».

В свою очередь, целые числа нельзя записывать с дробной составляющей. Например, такие числа, как 8,58 или √2, не являются целыми числами.

Целые числа обозначаются буквой (Z). Z является подмножеством группы рациональных чисел Q, которые, в свою очередь, образуют группу действительных чисел R. Как и натуральные числа, Z является бесконечной счетной группой.

Целые числа составляют наименьшую группу и наименьший набор натуральных чисел. В алгебраической теории чисел целые числа иногда называют иррациональными целыми числами, чтобы отличать их от алгебраических целых чисел.

- Рациональное число

Набор рациональных чисел представлен буквой (Q) и включает в себя все те числа, которые можно записать как дробь целых чисел.

То есть этот набор включает натуральные числа (4/1), целые числа (-4/1) и точные десятичные числа (15.50 = 1550/100).

Распределение 1/6 сыра - это рациональное число.

Десятичное раскрытие рационального числа всегда заканчивается после конечного числа цифр (например, 15,50) или когда одна и та же конечная последовательность цифр начинает повторяться снова и снова (например: 0,3456666666666666…). Следовательно, в набор рациональных чисел входят числа. чистые газеты или смешанные газеты.

Кроме того, любое повторяющееся или конечное десятичное число представляет собой рациональное число. Эти утверждения верны не только для базы 10, но и для любой другой целочисленной базы.

Нерациональное действительное число называется иррациональным. К иррациональным числам относятся, например, √2, π и e. Поскольку все множество рациональных чисел счетно, а группа действительных чисел не счетна, можно сказать, что почти все действительные числа иррациональны.

Рациональные числа могут быть формально определены как классы эквивалентности пар целых чисел (p, q) таких, что q ≠ 0, или эквивалентное отношение, определяемое формулой (p1, q1) (p2, q2), только если p1, q2 = p2q1.

Рациональные числа, наряду с сложением и умножением, образуют поля, которые составляют целые числа и содержатся в любой ветви, содержащей целые числа.

- Иррациональные числа

Иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными числами; иррациональные числа не могут быть выражены дробями. Рациональные числа - это числа, состоящие из долей целых чисел.

Как следствие теста Кантора, который утверждает, что все действительные числа неисчислимы и что рациональные числа являются счетными, можно сделать вывод, что почти все действительные числа иррациональны.

Когда радиус длины двух отрезков прямой является иррациональным числом, можно сказать, что эти отрезки несоизмеримы; это означает, что не существует достаточной длины, чтобы каждый из них мог быть «измерен» с помощью определенного целого числа, кратного ему.

К иррациональным числам относятся: радиус π окружности круга и его диаметр, число Эйлера (e), золотое число (φ) и квадратный корень из двух; более того, все квадратные корни из натуральных чисел иррациональны. Единственное исключение из этого правила - идеальные квадраты.

Можно видеть, что когда иррациональные числа выражаются позиционным образом в системе счисления (например, в десятичных числах), они не заканчиваются и не повторяются.

Это означает, что они не содержат последовательности цифр, повторения, посредством которого делается одна строка представления.

Упрощение иррационального числа пи.

Например: десятичное представление числа π начинается с 3,14159265358979, но не существует конечного числа цифр, которое могло бы точно представлять π, и их нельзя повторять.

Доказательство того, что десятичное расширение рационального числа должно заканчиваться или повторяться, отличается от доказательства того, что десятичное расширение должно быть рациональным числом; Несмотря на то, что эти тесты являются базовыми и довольно продолжительными, они требуют некоторой работы.

Обычно математики обычно не используют понятие «окончание или повторение» для определения понятия рационального числа.

Иррациональные числа также можно рассматривать с помощью прерывных дробей.

Ссылки

1. Классификация действительных чисел. Получено с сайта chilimath.com.
2. Натуральное число. Восстановлено с wikipedia.org.
3. Классификация номеров. Получено с сайта ditutor.com.
4. Восстановлено с wikipedia.org.
5. Иррациональный номер. Восстановлено с wikipedia.org.