КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПЯТИУГОЛЬНИКА?

Площадь пятиугольника рассчитывается с использованием метода , известного как триангуляции, который может быть применен к любому многоугольника. Этот метод заключается в разделении пятиугольника на несколько треугольников.

После этого рассчитывается площадь каждого треугольника и, наконец, складываются все найденные площади. Результатом будет площадь пятиугольника.

Пятиугольник также можно разделить на другие геометрические формы, такие как трапеция и треугольник, как, например, фигура справа.

Проблема в том, что длину большего основания и высоту трапеции вычислить непросто. Также необходимо рассчитать высоту красного треугольника.

Общий метод вычисления площади пятиугольника - это триангуляция, но этот метод может быть простым или немного более длинным, в зависимости от того, является ли пятиугольник правильным или нет.

Площадь правильного пятиугольника

Перед подсчетом площади необходимо знать, что такое апофема.

Апофема правильного пятиугольника (правильного многоугольника) - это наименьшее расстояние от центра пятиугольника (многоугольника) до середины одной стороны пятиугольника (многоугольника).

Другими словами, апофема - это длина отрезка прямой, идущего от центра пятиугольника до середины одной стороны.

Рассмотрим правильный пятиугольник, длина сторон которого равна «L». Чтобы вычислить его апофему, сначала разделите центральный угол α на количество сторон, то есть α = 360º / 5 = 72º.

Теперь, используя тригонометрические соотношения, длина апофемы рассчитывается, как показано на следующем изображении.

Следовательно, длина апофемы составляет L / 2tan (36º) = L / 1,45.

Триангулируя пятиугольник, получится фигура, подобная изображенной ниже.

Все 5 треугольников имеют одинаковую площадь (для правильного пятиугольника). Следовательно, площадь пятиугольника в 5 раз больше площади треугольника. То есть: площадь пятиугольника = 5 * (L * ap / 2).

Подставляя значение апофемы, получаем, что площадь равна A = 1,72 * L².

Следовательно, чтобы рассчитать площадь правильного пятиугольника, вам нужно знать длину только одной стороны.

Площадь неправильного пятиугольника

Начнем с неправильного пятиугольника, стороны которого равны L1, L2, L3, L4 и L5. В этом случае апофему нельзя использовать в прежнем виде.

После проведения триангуляции получается такая фигура:

Теперь приступим к рисованию и вычислению высоты этих 5 внутренних треугольников.

Таким образом, площади внутренних треугольников равны T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 и T5 = L5 * h5 / 2.

Значения h1, h2, h3, h4 и h5 - это высоты каждого треугольника соответственно.

Наконец, площадь пятиугольника - это сумма этих 5 областей. То есть A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Как видите, вычислить площадь неправильного пятиугольника сложнее, чем вычислить площадь правильного пятиугольника.

Гауссов определитель

Существует также другой метод, с помощью которого можно вычислить площадь любого неправильного многоугольника, известный как определитель Гаусса.

Этот метод заключается в рисовании многоугольника на декартовой плоскости, после чего вычисляются координаты каждой вершины.

Вершины нумеруются против часовой стрелки, и, наконец, вычисляются определенные определители, чтобы окончательно получить площадь рассматриваемого многоугольника.

Ссылки

Александр, округ Колумбия, и Коберлейн, GM (2014). Элементарная геометрия для студентов. Cengage Learning.
Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
Лофрет, EH (2002). Книга таблиц и формул / Книга таблиц умножения и формул. Образный.
Палмер К.И. и Бибб С.Ф. (1979). Практическая математика: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и логарифмическая линейка (переиздание под ред.). Реверте.
Позаментьер, А.С., и Баннистер, Р.Л. (2014). Геометрия, ее элементы и структура: второе издание. Курьерская корпорация.
Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Геометрия. Редакция, УПО.
Руис, Б., и Баррантес, Х. (2006). Геометрий. Редакция Tecnologica de CR.
Тора, ФБ (2013). Математика. 1-й дидактический блок 1-й ESO, Том 1. Редакция Club Universitario.
Викес, М., Ариас, Р., и Арайя, Дж. (Сф. Математика (шестой курс). EUNED.

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПЯТИУГОЛЬНИКА? - МАТЕМАТИКА - 2026