РАСЧЕТ ПРИБЛИЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛА - МАТЕМАТИКА - 2024

Приближение в математике - это число, которое не является точным значением чего-либо, но настолько близко к нему, что считается таким же полезным, как это точное значение.

Когда в математике используются приближения, это происходит потому, что вручную трудно (а иногда и невозможно) узнать точное значение того, что вы хотите.

Главный инструмент при работе с приближениями - это дифференциал функции.

Дифференциал функции f, обозначаемый Δf (x), является не чем иным, как производной функции f, умноженной на изменение независимой переменной, то есть Δf (x) = f '(x) * Δx.

Иногда вместо Δf и Δx используются df и dx.

Приближения с помощью дифференциала

Формула, которая применяется для выполнения приближения через дифференциал, возникает в точности из определения производной функции как предела.

Эта формула определяется следующим образом:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Здесь подразумевается, что Δx = x-x0, поэтому x = x0 + Δx. Используя это, формулу можно переписать как

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Следует отметить, что «x0» - не произвольное значение, а такое значение, что f (x0) легко узнать; более того, «f (x)» - это просто значение, которое мы хотим приблизительно оценить.

Есть ли лучшие приближения?

Ответ положительный. Вышеупомянутое является простейшим из приближений, называемым «линейным приближением».

Для более качественных приближений (меньше ошибок) используются многочлены с большим количеством производных, называемые «многочленами Тейлора», а также другие численные методы, такие как метод Ньютона-Рафсона среди других.

стратегия

Стратегия, которой следует придерживаться:

- Выберите подходящую функцию f для выполнения аппроксимации и значение «x» так, чтобы f (x) было значением, которое необходимо аппроксимировать.

- Выберите значение «x0», близкое к «x», чтобы можно было легко вычислить f (x0).

- Вычислить Δx = x-x0.

- Вычислить производную функции y f '(x0).

- Подставьте данные в формулу.

Решенные аппроксимационные упражнения

Далее приводится серия упражнений, в которых приближения делаются с помощью дифференциала.

Первое упражнение

Примерно √3.

Решение

Следуя стратегии, необходимо выбрать подходящую функцию. В этом случае можно видеть, что выбираемая функция должна быть f (x) = √x, а значение, которое нужно аппроксимировать, равно f (3) = √3.

Теперь мы должны выбрать значение «x0», близкое к «3», чтобы можно было легко вычислить f (x0). Если выбрано «x0 = 2», то «x0» близко к «3», но вычислить f (x0) = f (2) = √2 непросто.

Подходящим значением «x0» является «4», поскольку «4» близко к «3», а также f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Если «x = 3» и «x0 = 4», то Δx = 3-4 = -1. Теперь приступим к вычислению производной от f. То есть f '(x) = 1/2 * √x, поэтому f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Подставляя все значения в формулу, вы получаете:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Если вы воспользуетесь калькулятором, вы получите √3≈1,73205… Это показывает, что предыдущий результат является хорошим приближением к реальному значению.

Второе упражнение

Примерно √10.

Решение

Как и раньше, в качестве функции выбирается f (x) = √xy, в данном случае x = 10.

Значение x0 для выбора на этот раз равно «x0 = 9». Тогда мы имеем, что Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 и f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

При вычислении по формуле получается, что

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Используя калькулятор, получаем √10 ≈ 3,1622776… Здесь также видно, что хорошее приближение было получено ранее.

Третье упражнение

Приблизительно ³√10, где ³√ обозначает кубический корень.

Решение

Очевидно, что в этом упражнении будет использоваться функция f (x) = ³√x, а значение «x» должно быть «10».

Значение, близкое к «10», такое, что известен его кубический корень, - «x0 = 8». Тогда имеем Δx = 10-8 = 2 и f (x0) = f (8) = 2. Также имеем f '(x) = 1/3 * ³√x², и, следовательно, f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Подставляя данные в формулу, получаем, что:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Калькулятор говорит, что ³√10 ≈ 2,15443469… Таким образом, найденное приближение хорошее.

Четвертое упражнение

Приближаем ln (1.3), где ln обозначает функцию натурального логарифма.

Решение

Сначала мы выбираем функцию f (x) = ln (x) и значение «x» равно 1,3. Теперь, немного зная о функции логарифмирования, мы можем узнать, что ln (1) = 0, и, кроме того, «1» близко к «1,3». Следовательно, выбрано «x0 = 1» и, следовательно, Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

С другой стороны, f '(x) = 1 / x, так что f' (1) = 1. При вычислении по данной формуле мы имеем:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Используя калькулятор, мы получаем ln (1.3) ≈ 0,262364… Итак, сделанное приближение хорошее.

Ссылки

1. Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Математика Precalculus: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Холл.
3. Флеминг, В., и Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
4. Ларсон, Р. (2010). Precalculus (8-е изд.). Cengage Learning.
5. Леал, Дж. М., и Вилория, Н. Г. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: Редакция Венесолана CA
6. Перес, CD (2006). Предвычисления. Pearson Education.
7. Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Исчисление (Девятое изд.). Прентис Холл.
8. Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление с ранними трансцендентными функциями для науки и техники (второе издание ред.). Гипотенузы.
9. Скотт, Калифорния (2009). Декартова плоская геометрия, Часть: Аналитические коники (1907) (переиздание). Источник молнии.
10. Салливан, М. (1997). Предвычисления. Pearson Education.