СОПРЯЖЕННЫЙ БИНОМ: КАК РЕШИТЬ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Сопряженное бином другого бинома является один , в котором они только различаются по знаку операции. Бином, как следует из его названия, представляет собой алгебраическую структуру, состоящую из двух членов.

Некоторые примеры биномов: (a + b), (3m - n) и (5x - y). И их соответствующие сопряженные биномы: (a - b), (-3m - n) и (5x + y). Как видно сразу, разница в знаке.

Рисунок 1. Бином и сопряженный ему бином. У них одинаковые термины, но разные знаки. Источник: Ф. Сапата.

Умножение бинома на его сопряженное дает замечательный продукт, который широко используется в алгебре и науке. Результатом умножения является вычитание квадратов членов исходного двучлена.

Например, (x - y) является двучленом, а его сопряжение - (x + y). Итак, произведение двух двучленов - это разность квадратов членов:

(х - у). (х + у) = х ² - у ²

Как решить сопряженный бином?

Заявленное правило сопряженных двучленов следующее:

В качестве примера применения мы начнем с демонстрации предыдущего результата, который можно сделать, используя свойство распределения продукта по алгебраической сумме.

(х - у) (х + у) = хх + ху - ух - уу

Вышеупомянутое умножение было получено с помощью следующих шагов:

- Первый член первого бинома умножается на первый член второго

- Потом первый из первых, за второй из вторых

- Потом второй из первого первым из второго

- Наконец второй из первого вторым из второго.

Теперь внесем небольшое изменение, используя свойство коммутативности: yx = xy. Выглядит это так:

(х - у) (х + у) = хх + ху - ху - уу

Так как есть два равных члена, но противоположных знаков (выделены цветом и подчеркнуты), они отменяются и упрощаются:

(х - у) (х + у) = хх - уу

Наконец, применяется, что умножение числа на само по себе эквивалентно возведению его в квадрат, так что xx = x ^2, а также yy = y ² .

Таким образом демонстрируется то, что было указано в предыдущем разделе, что произведение суммы и ее разности является разностью квадратов:

(х - у). (х + у) = х ² - у ²

Рис. 2. Сумма, умноженная на разницу, равна разнице квадратов. Источник: Ф. Сапата.

Примеры

- Сопряженные биномы различных выражений

Пример 1

Найдите сопряжение (y ² - 3y).

Ответ : (y ² + 3y)

Пример 2

Получите произведение (y ² - 3y) и его конъюгата.

Ответ: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Пример 3

Разработайте продукт (1 + 2a). (2a -1).

Ответ: предыдущее выражение эквивалентно (2a + 1). (2a -1), то есть соответствует произведению бинома на сопряженное с ним.

Известно, что произведение бинома на его сопряженный бином равно разности квадратов членов бинома:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Пример 4

Запишите произведение (x + y + z) (x - y - z) в виде разности квадратов.

Ответ: мы можем уподобить вышеуказанные трехчлены сопряженной биномиальной форме, осторожно используя круглые и квадратные скобки:

(х + у + z) (х - у - z) =

Таким образом можно применить разницу квадратов:

(х + у + г) (х - у - г) =. = х ² - (у + z) ²

Пример 5

Выразите произведение (m ² - m -1). (M ² + m -1) как разность квадратов.

Ответ : предыдущее выражение является произведением двух трехчленов. Сначала его нужно переписать как произведение двух сопряженных биномов:

(м ² - м -1) (м ² + м -1) = (м ² - 1 - м) (м ² -1 + м) =.

Мы применяем тот факт, что произведение двучлена на его сопряженное число является квадратичной разностью его членов, как было объяснено:

, = (м ² -1) ² - м ²

упражнения

Как всегда, вы начинаете с самых простых упражнений, а затем повышаете уровень сложности.

- Упражнение 1

Напишите (9 - к ² ) как произведение.

Решение

Во-первых, мы перепишем выражение как разность квадратов, чтобы применить то, что было объяснено ранее. Таким образом:

(9 - а ² ) = (3 ² - а ² )

Затем мы вводим множитель, что эквивалентно записи этой разницы квадратов в виде произведения, как указано в заявлении:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Упражнение 2.

Множитель 16x ² - 9y ⁴ .

Решение

Факторинг выражения означает написание его как продукта. В этом случае необходимо предварительно переписать выражение, чтобы получить разность квадратов.

Сделать это несложно, так как при внимательном рассмотрении все множители являются точными квадратами. Например, 16 - квадрат 4, 9 - квадрат 3, ⁴ - квадрат y ^2, а x ² - квадрат x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Затем мы применяем то, что мы уже знали ранее: разность квадратов является произведением сопряженных биномов:

(4x) ² - (3 и ² ) ² = (4x - 3 и ² ). (4x + 3 и ² )

- Упражнение 3

Запишите (a - b) как произведение биномов

Решение

Вышеуказанную разницу следует записать в виде разностей квадратов.

(√a) ² - (√b) ²

Затем применяется, что разность квадратов является произведением сопряженных двучленов.

(√a - √b) (√a + √b)

- Упражнение 4

Одно из применений сопряженного бинома - рационализация алгебраических выражений. Эта процедура состоит в удалении корней знаменателя дробного выражения, что во многих случаях упрощает операции. Требуется использовать сопряженный бином для обоснования следующего выражения:

√ (2-х) /

Решение

Первым делом необходимо определить сопряженный бином знаменателя :.

Теперь умножим числитель и знаменатель исходного выражения на сопряженный бином:

√ (2-х) / {.}

В знаменателе предыдущего выражения мы узнаем произведение разности на сумму, которая, как мы уже знаем, соответствует разности квадратов биномов:

√ (2-х). / {(√3) ² - ² }

Упрощение знаменателя:

√ (2-х). / = √ (2-х). / (1 - х)

Теперь мы имеем дело с числителем, к которому мы применим распределительное свойство продукта по отношению к сумме:

√ (2-х). / (1 - х) = √ (6-3x) + √ / (1 - х)

В предыдущем выражении мы распознаем произведение бинома (2-x) на его конъюгат, который является заметным произведением, равным разности квадратов. Таким образом, наконец получается рационализированное и упрощенное выражение:

/ (1 - х)

- Упражнение 5.

Разработайте следующий продукт, используя свойства сопряженного бинома:

,

Решение

4а ^{(2х + 6y)} - 9а ^{(2x - 6y)} = 4а ^(2x) .a ^(6Y) - 9а ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Внимательный читатель заметит общий фактор, выделенный цветом.

Ссылки

1. Балдор, А. 1991. Алгебра. Редакция Cultural Venezolana SA
2. Гонсалес Дж. Сопряженные биномиальные упражнения. Получено с: academia.edu.
3. Учитель математики Алексей. Замечательные продукты. Получено с youtube.com.
4. Math2me. Конъюгированные биномы / известные продукты. Получено с youtube.com.
5. Конъюгированные биномиальные продукты. Получено с: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Сопряженные биномы. Получено с: youtube.com.