ДЕФОЛТНОЕ И ИЗБЫТОЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ: ЧТО ЭТО ТАКОЕ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

Под и над приближением является численным методом , используемым для установки значения числа в соответствии с различными масштабами точности. Например, число 235 623 близко к 235,6 по умолчанию и 235,7 по превышению. Если рассматривать десятые доли как предел ошибки.

Аппроксимация заключается в замене точной фигуры на другую, причем указанная замена должна облегчить выполнение математической задачи, сохраняя структуру и суть проблемы.

Источник: Pexels.

A ≈B

Он читает; Приблизительная Б . Где «A» представляет точное значение, а «B» - приблизительное значение.

Значимые числа

Значения, с которыми определяется приблизительное число, называются значащими цифрами. В приближении примера были взяты четыре значащих цифры. Точность числа определяется количеством значащих цифр, которые его определяют.

Бесконечные нули, которые могут располагаться как справа, так и слева от числа, не считаются значащими цифрами. Расположение запятой не играет никакой роли в определении значащих цифр числа.

750385

, , , , +00,0075038500. , , ,

+75,038500000. , , , ,

750385000. , , , ,

, , , , , 000007503850000. , , , ,

В чем он состоит?

Метод довольно простой; выберите границу ошибки, которая представляет собой не что иное, как числовой диапазон, в котором вы хотите сделать разрез. Значение этого диапазона прямо пропорционально погрешности приблизительного числа.

В приведенном выше примере 235 623 владеют тысячными (623). Затем было произведено приближение к десятым. Превышение значения (235,7) соответствует наиболее значимому значению в десятых долях сразу после исходного числа.

С другой стороны, значение по умолчанию (235,6) соответствует ближайшему и наиболее значимому значению в десятых долях, которое стоит перед исходным числом.

Числовое приближение довольно распространено на практике с числами. Другие широко используемые методы - округление и усечение ; которые отвечают различным критериям для присвоения значений.

Предел погрешности

При определении числового диапазона, который будет охватывать число после аппроксимации, мы также определяем границу ошибки, которая сопровождает цифру. Это будет обозначено существующим или значимым рациональным числом в назначенном диапазоне.

В исходном примере значения, определяемые превышением (235,7) и по умолчанию (235,6), имеют приблизительную ошибку 0,1. В статистических исследованиях и исследованиях вероятности обрабатываются 2 типа ошибок в отношении числовых значений; абсолютная ошибка и относительная ошибка.

Весы

Критерии для установления диапазонов аппроксимации могут сильно варьироваться и тесно связаны со спецификациями элемента, подлежащего аппроксимации. В странах с высокой инфляцией избыточные приближения игнорируют некоторые числовые диапазоны, поскольку они ниже инфляционной шкалы.

Таким образом, при инфляции, превышающей 100%, продавец не будет изменять размер продукта с 50 до 55 долларов, а приблизит его к 100 долларам, таким образом игнорируя единицы и десятки, напрямую приближаясь к сотне.

Калькулятор

В обычных калькуляторах есть режим FIX, в котором пользователь может настроить количество десятичных знаков, которое они хотят получать в своих результатах. Это порождает ошибки, которые необходимо учитывать при выполнении точных расчетов.

Приближение иррациональных чисел

Некоторые значения, широко используемые в числовых операциях, относятся к набору иррациональных чисел, основной характеристикой которых является неопределенное количество десятичных знаков.

источник: Pexels.

Такие значения, как:

• π = 3,141592654….
• е = 2,718281828 …
• √2 = 1,414213562…

Они распространены в экспериментах, и их значения должны быть определены в определенном диапазоне с учетом возможных сгенерированных ошибок.

Для чего они?

В случае деления (1 ÷ 3) экспериментально наблюдается необходимость установить сокращение количества выполняемых операций для определения числа.

1 ÷ 3 = 0,333333. , , , , ,

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. , , , , / 10000. , , , , = 0,333333. , , , ,

Представлена ​​операция, которая может продолжаться бесконечно, поэтому в какой-то момент необходимо приблизиться.

В случае:

1 ÷ 3 333333. , , , , / 10000. , , , , = 0,333333. , , , ,

Для любой точки, установленной как предел погрешности, будет получено число меньше точного значения (1 ÷ 3). Таким образом, все сделанные ранее приближения являются приближениями по умолчанию (1 ÷ 3).

Примеры

Пример 1

1. Какое из следующих чисел является приблизительным значением по умолчанию 0,0127?

• 0,13
• 0,012; Это приблизительное значение по умолчанию 0,0127.
• 0,01; Это приблизительное значение по умолчанию 0,0127.
• 0,0128

Пример 2

1. Какое из следующих чисел является избыточным приближением из 23,435

• 24; приблизительно больше 23 435
• 23,4
• 23,44; приблизительно больше 23 435
• 23,5; приблизительно больше 23 435

Пример 3

1. Определите следующие числа, используя приближение по умолчанию с заданной границей ошибки.

• 547.2648 …. На тысячные, сотые и десятки.

Тысячные: тысячные доли соответствуют первым трем цифрам после запятой, где после 999 идет единица измерения. Мы переходим к приблизительному количеству 547 264 человека.

Сотые: Обозначается первыми двумя цифрами после запятой, сотые должны совпадать, 99 для достижения единицы. Таким образом, по умолчанию он приближается к 547,26.

Десятки: в этом случае граница ошибки намного выше, поскольку диапазон приближения определяется целыми числами. Если по умолчанию приблизиться к десяти, получится 540.

Пример 4

1. Определите следующие числа, используя избыточное приближение с указанной границей ошибки.

• 1204,27317 Для десятых, сотен и единиц.

Десятые: относится к первой цифре после запятой, где единица составляет после 0,9. Приближение к десятым с избытком дает 1204,3 .

Сотни: снова наблюдается граница ошибки, диапазон которой находится в пределах целых чисел на рисунке. Приближение сотен к лишнему дает 1300 . Эта цифра значительно отличается от 1204.27317. Из-за этого приближения обычно не применяются к целым значениям.

Единицы: чрезмерно приближаясь к единице, получается 1205.

Пример 5

1. Швея отрезает кусок ткани длиной 135,3 см, чтобы сделать флаг площадью 7855 см ² . Сколько будет измерять другая сторона, если вы используете обычную линейку с точностью до миллиметра.

Результаты приблизительны по лишним и дефектным .

Площадь флага прямоугольная и определяется:

A = сторона x сторона

сторона = A / сторона

сторона = 7855 см ² / 135,3 см

сторона = 58,05617147 см

Благодаря пониманию правила мы можем получать данные с точностью до миллиметров, что соответствует диапазону десятичных знаков по отношению к сантиметру.

Таким образом, 58 см является приблизительным значением по умолчанию.

Хотя 58,1 - это избыточное приближение.

Пример 6

1. Определите 9 значений, которые могут быть точными числами в каждом из приближений:

• 34 071 результат с приблизительными тысячными по умолчанию

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 - результат приблизительно тысячных по умолчанию

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23.9 получается прибавлением десятых долей к лишнему

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58,37 - это результат приближения сотых с превышением

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

Пример 7

1. Приближаем каждое иррациональное число в соответствии с указанной границей ошибки:

• π = 3,141592654….

По умолчанию тысячные доли π = 3,141

Тысячные доли превышения π = 3,142

Сотые по умолчанию π = 3,14

Превышение сотых π = 3,15

По умолчанию десятые π = 3,1

Десятые с превышением π = 3,2

• е = 2,718281828 …

Тысячные по умолчанию e = 2.718

Тысячные доли превышения e = 2,719

Сотые по умолчанию e = 2,71

Сотые больше e = 2,72

Десятые по умолчанию e = 2.7

Десятые с превышением е = 2,8

• √2 = 1,414213562…

По умолчанию тысячные √2 = 1,414

Тысячные доли превышения √2 = 1,415

Сотые по умолчанию √2 = 1,41

Сотые в избытке √2 = 1,42

По умолчанию десятые √2 = 1,4

Десятые на превышение √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. , , , ,

По умолчанию тысячные доли 1 ÷ 3 = 0,332

Тысячные в избытке 1 ÷ 3 = 0,334

Сотые по умолчанию 1 ÷ 3 = 0,33

Превышение сотых 1 ÷ 3 = 0,34

По умолчанию десятые 1 ÷ 3 = 0,3

Десятые на превышение 1 ÷ 3 = 0,4

Ссылки

1. Проблемы математического анализа. Петр Билер, Альфред Витковски. Вроцлавский университет. Польша.
2. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Альфред Тарски, Нью-Йорк, Оксфорд. Издательство Оксфордского университета.
3. Учитель арифметики, Том 29. Национальный совет учителей математики, 1981. Мичиганский университет.
4. Изучение и преподавание теории чисел: исследование познания и обучения / под редакцией Стивена Р. Кэмпбелла и Рины Зазкис. Издательство Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Бернулли Дж. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Руан: ИРЕМ.