ИСТОРИЧЕСКИЙ ФОН АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ - МАТЕМАТИКА - 2024

В исторические предпосылки аналитической геометрии вернуться в семнадцатом веке, когда Пьер де Ферма и Декарт определил его основную идею. Его изобретение последовало за модернизацией алгебры и алгебраических обозначений Франсуа Виэта.

Эта область имеет свои основы в Древней Греции, особенно в трудах Аполлония и Евклида, которые оказали большое влияние в этой области математики.

Основная идея аналитической геометрии состоит в том, что связь между двумя переменными, такая, что одна является функцией другой, определяет кривую.

Эта идея была впервые разработана Пьером де Ферма. Благодаря этой важной структуре Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц смогли разработать исчисление.

Французский философ Декарт также открыл алгебраический подход к геометрии, по-видимому, самостоятельно. Работа Декарта по геометрии представлена ​​в его знаменитой книге «Рассуждения о методе».

В этой книге указывается, что геометрические конструкции компаса и линейки включают сложение, вычитание, умножение и извлечение квадратного корня.

Аналитическая геометрия представляет собой союз двух важных традиций в математике: геометрии как изучения формы, арифметики и алгебры, которые имеют дело с количеством или числами. Таким образом, аналитическая геометрия - это исследование области геометрии с использованием систем координат.

история

Предпосылки аналитической геометрии

Отношения между геометрией и алгеброй развивались на протяжении всей истории математики, хотя геометрия достигла более ранней стадии зрелости.

Например, греческий математик Евклид сумел систематизировать многие результаты в своей классической книге «Элементы».

Но именно древнегреческий Аполлоний Пергский предсказал развитие аналитической геометрии в своей книге «Коники». Он определил конику как пересечение конуса и плоскости.

Используя результаты Евклида по подобным треугольникам и секущим окружностей, он обнаружил взаимосвязь, заданную расстояниями от любой точки «P» коники до двух перпендикулярных линий, большой оси коники и касательной в конечной точке оси. Аполлоний использовал это соотношение, чтобы вывести фундаментальные свойства коник.

Последующее развитие систем координат в математике произошло только после того, как алгебра стала зрелой благодаря исламским и индийским математикам.

До Возрождения геометрия использовалась для обоснования решений алгебраических задач, но алгебра мало что могла сделать для геометрии.

Эта ситуация изменилась бы с принятием удобных обозначений для алгебраических соотношений и развитием концепции математической функции, что теперь стало возможным.

Век XVI

В конце 16 века французский математик Франсуа Виет ввел первую систематическую алгебраическую нотацию, в которой буквы использовались для обозначения числовых величин, как известных, так и неизвестных.

Он также разработал мощные общие методы работы с алгебраическими выражениями и решения алгебраических уравнений.

Благодаря этому математики не полностью полагались на геометрические фигуры и геометрическую интуицию при решении задач.

Даже некоторые математики начали отказываться от стандартного геометрического образа мышления, согласно которому линейные переменные длины и квадрата соответствуют площадям, а кубические переменные соответствуют объемам.

Первыми на этот шаг пошли философ и математик Рене Декарт, а также юрист и математик Пьер де Ферма.

Основы аналитической геометрии

Декарт и Ферма независимо друг от друга основали аналитическую геометрию в 1630-х годах, применив алгебру Вьете для изучения локуса.

Эти математики осознали, что алгебра является мощным инструментом в геометрии, и изобрели то, что сегодня известно как аналитическая геометрия.

Одним из прорывов, которые они сделали, было превзойти Viète, используя буквы для обозначения расстояний, которые являются переменными, а не фиксированными.

Декарт использовал уравнения для изучения геометрически определенных кривых и подчеркивал необходимость рассмотрения общих алгебро-графических кривых полиномиальных уравнений в степенях «x» и «y».

Со своей стороны Ферма подчеркнул, что любое соотношение между координатами «x» и «y» определяет кривую.

Используя эти идеи, он реструктурировал утверждения Аполлония на алгебраических терминах и восстановил некоторые из своих утраченных работ.

Ферма указал, что любое квадратное уравнение относительно «x» и «y» может быть помещено в стандартную форму одного из конических сечений. Несмотря на это, Ферма никогда не публиковал свои работы на эту тему.

Благодаря их достижениям то, что Архимед мог решить только с большим трудом, а в отдельных случаях Ферма и Декарт могли решить быстро и для большого числа кривых (теперь известных как алгебраические кривые).

Но его идеи получили всеобщее признание только благодаря усилиям других математиков во второй половине 17 века.

Математики Франс ван Скутен, Флоримон де Бон и Йохан де Витт помогли расширить работу Декарта и добавили важный дополнительный материал.

Влияние

В Англии Джон Уоллис популяризировал аналитическую геометрию. Он использовал уравнения, чтобы определить коники и получить их свойства. Хотя он свободно использовал отрицательные координаты, именно Исаак Ньютон использовал две наклонные оси, чтобы разделить плоскость на четыре квадранта.

Ньютон и немец Готфрид Лейбниц произвели революцию в математике в конце 17 века, независимо продемонстрировав силу исчисления.

Ньютон продемонстрировал важность аналитических методов в геометрии и их роль в исчислении, когда он утверждал, что любой куб (или любая алгебраическая кривая третьей степени) имеет три или четыре стандартных уравнения для подходящих координатных осей. С помощью самого Ньютона это доказал в 1717 году шотландский математик Джон Стирлинг.

Аналитическая геометрия трех и более измерений

Хотя и Декарт, и Ферма предлагали использовать три координаты для изучения кривых и поверхностей в пространстве, трехмерная аналитическая геометрия развивалась медленно до 1730 года.

Математики Эйлер, Герман и Клеро получили общие уравнения для цилиндров, конусов и поверхностей вращения.

Например, Эйлер использовал уравнения для перемещений в пространстве, чтобы преобразовать общую квадратичную поверхность так, чтобы ее главные оси совпадали с ее осями координат.

Эйлер, Жозеф-Луи Лагранж и Гаспар Монж сделали аналитическую геометрию независимой от синтетической (неаналитической) геометрии.

Ссылки

1. Развитие аналитической геометрии (2001). Получено с encyclopedia.com
2. История аналитической геометрии (2015). Восстановлено с maa.org
3. Анализ (математика). Получено с britannica.com
4. Аналитическая геометрия. Получено с britannica.com
5. Декарт и рождение аналитической геометрии. Получено с sciencedirect.com