АНАЛИЗ СЕТКИ: КОНЦЕПЦИИ, МЕТОДЫ, ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2024

Анализ сетки - это метод, используемый для решения плоскостей электрических цепей. Эта процедура может также фигурировать в литературе как метод цепных токов или метод сеточных (или петлевых) токов.

В основе этого и других методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа и Ома. Законы Кирхгофа, в свою очередь, выражают два очень важных принципа сохранения в физике для изолированных систем: электрический заряд и энергия сохраняются.

Рисунок 1. Цепи являются частью бесчисленного множества устройств. Источник: Pixabay.

С одной стороны, электрический заряд связан с током, который представляет собой движущийся заряд, в то время как в цепи энергия связана с напряжением, которое является агентом, отвечающим за выполнение работы, необходимой для поддержания движения заряда.

Эти законы, примененные к плоской цепи, создают набор одновременных уравнений, которые необходимо решить, чтобы получить значения тока или напряжения.

Система уравнений может быть решена с помощью хорошо известных аналитических методов, таких как правило Крамера, которое требует вычисления определителей для получения решения системы.

В зависимости от количества уравнений они решаются с помощью научного калькулятора или какого-либо математического программного обеспечения. Есть также много вариантов, доступных в Интернете.

Важные термины

Прежде чем объяснять, как это работает, мы начнем с определения этих терминов:

Ветвь : раздел, содержащий элемент схемы.

Узел : точка, соединяющая две или более ветки.

Цикл: любая замкнутая часть цепи, которая начинается и заканчивается в одном и том же узле.

Сетка : петля, не содержащая других петель внутри (основная сетка).

методы

Анализ сетки - это общий метод, используемый для решения схем, элементы которых соединены последовательно, параллельно или смешанным образом, то есть когда тип соединения четко не различается. Схема должна быть плоской или, по крайней мере, должна быть возможность перерисовать ее как таковую.

Рисунок 2. Плоские и неплоские схемы. Источник: Александр К. 2006. Основы электрических цепей. Третий. Издание. Мак Гроу Хилл.

Пример каждого типа схемы показан на рисунке выше. Как только суть станет ясной, для начала мы применим метод к простой схеме в качестве примера в следующем разделе, но сначала мы кратко рассмотрим законы Ома и Кирхгофа.

Закон Ома: пусть V - напряжение, R - сопротивление, а I - ток омического резистивного элемента, в котором напряжение и ток прямо пропорциональны, а сопротивление является константой пропорциональности:

Закон напряжения Кирхгофа (LKV): на любом замкнутом пути, проходящем только в одном направлении, алгебраическая сумма напряжений равна нулю. Сюда входят напряжения от источников, резисторов, катушек индуктивности или конденсаторов: ∑ E = ∑ R _i . я

Закон тока Кирхгофа (LKC): в любом узле алгебраическая сумма токов равна нулю с учетом того, что входящим токам присваивается один знак, а выходящим токам - другой. Таким образом: ∑ I = 0.

При использовании метода тока сетки нет необходимости применять закон Кирхгофа, что приводит к меньшему количеству уравнений для решения.

- Шаги по применению анализа сетки

Мы начнем с объяснения метода для схемы с двумя сетками. Затем процедура может быть расширена для более крупных цепей.

Рисунок 3. Схема с резисторами и источниками, расположенными в две ячейки. Источник: Ф. Сапата.

Шаг 1

Назначьте и нарисуйте независимые токи для каждой сетки, в этом примере это I ₁ и I ₂ . Их можно рисовать как по часовой, так и против часовой стрелки.

Шаг 2

Примените закон напряжений Кирхгофа (LTK) и закон Ома к каждой сетке. Возможному падению присваивается знак (-), а подъему - знак (+).

Сетка abcda

Начиная с точки a и следуя направлению тока, мы обнаруживаем повышение потенциала батареи E1 (+), затем падение R ₁ (-) и затем еще одно падение R ₃ (-).

Одновременно через сопротивление R ₃ также проходит ток I ₂ , но в противоположном направлении, поэтому он представляет собой повышение (+). Первое уравнение выглядит так:

Затем это факторизуется и термины перегруппировываются:

---------

-50 Я ₁ + 10 Я ₂ = -12

Поскольку это система уравнений 2 x 2, ее можно легко решить сокращением, умножив второе уравнение на 5, чтобы исключить неизвестное I ₁ :

-50 Я ₁ + 10 Я ₂ = -12

Сразу же ток I ₁ удаляется из любого из исходных уравнений:

Отрицательный знак в токе I ₂ означает, что ток в ячейке 2 циркулирует в направлении, противоположном протянутому.

Токи в каждом резисторе следующие:

Ток I ₁ = 0,16 А протекает через сопротивление R ₁ в протянутом направлении, через сопротивление R ₂ ток I ₂ = 0,41 А протекает в направлении, противоположном протянутому , а через сопротивление R ₃ течет i ₃ = 0,16- ( -0,41) A = 0,57 А вниз.

Системное решение по методу Крамера

В матричной форме система может быть решена следующим образом:

Шаг 1. Рассчитайте Δ

Первый столбец заменяется независимыми членами системы уравнений, сохраняя порядок, в котором система была первоначально предложена:

Шаг 3: вычислить I

Шаг 4: Рассчитайте Δ

Рисунок 4. 3-ячеечная схема. Источник: Boylestad, R. 2011. Введение в анализ цепей. 2da. Издание. Пирсон.

Решение

Три тока сетки рисуются, как показано на следующем рисунке, в произвольных направлениях. Теперь обход сеток начинается с любой точки:

Рисунок 5. Сеточные токи для упражнения 2. Источник: Ф. Сапата, модифицировано из Бойлестада.

Сетка 1

-9100.I ₁ + 18-2200.I ₁ + 9100.I ₂ = 0

Сетка 3

Система уравнений

Хотя числа большие, их можно быстро решить с помощью научного калькулятора. Помните, что уравнения необходимо упорядочить и добавить нули в тех местах, где неизвестное не появляется, как здесь.

Сеточные токи бывают:

Токи I ₂ и I ₃ циркулируют в направлении, противоположном показанному на рисунке, поскольку они оказались отрицательными.

Таблица токов и напряжений в каждом сопротивлении

Сопротивление (Ом)	Ток (амперы)	Напряжение = ИК (вольт)
9100	I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168	15,3
3300	0,00062	2,05
2200	0,0012	2,64
7500	0,00048	3,60
6800	I 2 –I 3 = -0,00048 - (- 0,00062) = 0,00014	0,95

Решение правила Крамера

Поскольку это большие числа, для непосредственной работы с ними удобно использовать научную нотацию.

Расчет I ₁

Цветные стрелки в определителе 3 x 3 показывают, как найти числовые значения, умножая указанные значения. Начнем с получения значений первой скобки в определителе Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 ¹²

9100 х 0 х 0 = 0

9100 х 6800 х 0 = 0

Сразу получаем вторую скобку в том же определителе, который обрабатывается слева направо (для этой скобки на рисунке не нарисованы цветные стрелки). Предлагаем читателю убедиться в этом:

0 х (-23400) х 0 = 0

9100 х 9100 х (-10100) = -8,364 х 10 ¹¹

6800 х 6800 х (-11300) = -5,225 х 10 ¹¹

Аналогичным образом читатель может проверить значения определителя Δ ₁ .

Важно: между скобками всегда стоит отрицательный знак.

Наконец, ток I ₁ получается через I ₁ = Δ ₁ / Δ

Расчет I ₂

Процедуру можно повторить для вычисления I ₂ , в этом случае для вычисления определителя Δ ₂ второй столбец определителя Δ заменяется столбцом независимых членов и определяется его значение в соответствии с описанной процедурой.

Однако, поскольку это громоздко из-за больших чисел, особенно если у вас нет научного калькулятора, проще всего подставить уже вычисленное значение I ₁ в следующее уравнение и решить:

Расчет I3

После того, как значения I ₁ и I ₂ в руках, значение I ₃ находится непосредственно путем подстановки.

Ссылки

1. Александр, C. 2006. Основы электрических цепей. Третий. Издание. Мак Гроу Хилл.
2. Бойлестад, Р. 2011. Введение в анализ цепей. 2da. Издание. Пирсон.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 5. Электрическое взаимодействие. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Гарсия, Л. 2014. Электромагнетизм. Второй. Издание. Индустриальный университет Сантандера.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. Четырнадцатый. Ред. Том 2.