РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ ВЕКТОР: РАСЧЕТ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Результирующий вектор представляет собой один , полученный в результате операции с векторами, результат также является вектор. Обычно эта операция представляет собой сумму двух или более векторов, с помощью которой получается вектор с эквивалентным эффектом.

Таким образом получаются такие векторы, как результирующая скорость, ускорение или сила. Например, когда на тело действует несколько сил F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… векторная сумма всех этих сил равна чистой силе (равнодействующей), которая математически выражается следующим образом:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R или F _N

Рис. 1. Вес снега распределяется на крыше, и его действие может быть заменено единственной равнодействующей силой, приложенной в соответствующем месте. Источник: Pixabay.

Результирующий вектор, будь то силы или любая другая величина вектора, находится с применением правил сложения векторов. Поскольку векторы имеют направление и смысл, а также числовое значение, недостаточно добавить модули, чтобы получить результирующий вектор.

Это верно только в том случае, если задействованные векторы направлены в одном направлении (см. Примеры). В противном случае необходимо использовать методы векторной суммы, которые в зависимости от случая могут быть геометрическими или аналитическими.

Примеры

Геометрическими методами нахождения результирующего вектора являются метод траверса и метод параллелограмма.

Что касается аналитических методов, существует метод компонентов, с помощью которого можно найти вектор, полученный из любой системы векторов, если у нас есть его декартовы компоненты.

Геометрические методы сложения двух векторов

Предположим, что векторы u и v (мы обозначим их жирным шрифтом, чтобы отличать их от скаляров). На рисунке 2а) они расположены на плоскости. На рисунке 2 б) он переведен в вектор v таким образом, что его начало совпадает с концом u . Результирующий вектор идет от начала первого ( u ) до конца последнего ( v ):

Рисунок 2. Полученный вектор из графической суммы векторов. Источник: самодельный.

Результирующая фигура в этом случае представляет собой треугольник (треугольник - это 3-сторонний многоугольник). Если у нас есть два вектора в одном направлении, процедура такая же: поместите один из векторов за другим и нарисуйте тот, который идет от начала или хвоста первого до конца или конца последнего.

Обратите внимание, что порядок, в котором выполняется эта процедура, не имеет значения, поскольку сумма векторов коммутативна.

Также обратите внимание, что в этом случае модуль (длина или размер) результирующего вектора представляет собой сумму модулей добавленных векторов, в отличие от предыдущего случая, в котором модуль результирующего вектора меньше, чем сумма модули участников.

Метод параллелограмма

Этот метод очень подходит, когда вам нужно добавить два вектора, исходные точки которых совпадают, скажем, с началом системы координат xy. Предположим, что это так для наших векторов u и v (рисунок 3a):

Рис. 3. Сумма двух векторов с использованием метода параллелограмма с полученным вектором бирюзово-синего цвета. Источник: самодельный.

На рисунке 3b) параллелограмм построен с помощью пунктирных линий, параллельных u и v . Результирующий вектор имеет начало в точке O и конец в точке пересечения пунктирных линий. Эта процедура полностью эквивалентна описанной в предыдущем разделе.

упражнения

-Упражнение 1

Учитывая следующие векторы, найдите результирующий вектор с помощью метода обхода.

Рисунок 4. Векторы для нахождения их результирующей с использованием метода многоугольников. Упражнение 1. Источник: собственная разработка.

Решение

Метод траверса - первый из известных. Помните, что сумма векторов коммутативна (порядок слагаемых не влияет на сумму), поэтому вы можете начать с любого из векторов, например u (рисунок 5a) или r (рисунок 5b):

Рисунок 5. Сумма векторов с использованием метода многоугольников. Источник: самодельный.

Рисунок , полученный представляет собой многоугольник , и результирующий вектор (синим) называется R . Если вы начнете с другого вектора, сформированная форма может быть другой, как показано в примере, но результирующий вектор будет таким же.

Упражнение 2.

На следующем рисунке мы знаем, что модули векторов u и v соответственно равны u = 3 произвольных единицы и v = 1,8 произвольных единиц. Угол, который u образует с положительной осью x, составляет 45 °, а v составляет 60 ° с осью y, как показано на рисунке. Найдите результирующий вектор, величину и направление.

Решение

В предыдущем разделе результирующий вектор был найден методом параллелограмма (на рисунке выделен бирюзовым цветом).

Простой способ найти результирующий вектор аналитически - это выразить слагаемые векторы в терминах их декартовых компонентов, что является простой задачей, когда известны модуль и угол, например векторы в этом примере:

и _х = и. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. грех 45º = 3x грех 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Векторы u и v являются векторами, принадлежащими плоскости, поэтому каждый из них имеет по две компоненты. Вектор u находится в первом квадранте, а его компоненты положительны, а вектор v - в четвертом квадранте; его компонент x положительный, но его проекция на вертикальную ось падает на отрицательную ось y.

Вычисление декартовых компонент результирующего вектора

Результирующий вектор находится путем алгебраического сложения соответствующих компонентов x и y, чтобы получить их декартовы компоненты:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Как только декартовы компоненты указаны, вектор становится полностью известным. Полученный вектор можно записать в скобках:

R = <3,68; 1,22> условные единицы

Обозначение скобок используется, чтобы отличить вектор от точки на плоскости (или в пространстве). Другой способ выразить полученный вектор аналитически - использовать единичные векторы i и j в плоскости ( i , j и k в пространстве):

R = 3.68 i + 1.22 j условных единиц

Поскольку обе компоненты результирующего вектора положительны, вектор R принадлежит первому квадранту, что уже было показано графически ранее.

Величина и направление результирующего вектора

Зная декартовы компоненты, величина R вычисляется по теореме Пифагора, так как в результате вектора R , вместе с ее компонентами R _х и R _и образуют правильный треугольник:

Величина или модуль: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Направление q, взяв за основу положительную ось x: q = arctg ( R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Ссылки

1. Добавление векторов и правил. Получено с: newt.phys.unsw.edu.au
2. Фигероа, Д. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. 31-68.
3. Физический. Модуль 8: Векторы. Получено с: frtl.utn.edu.ar
4. Хиббелер, Р. 2006. Механика для инженеров. статический 6-е издание. Континентальная издательская компания. 15-53.
5. Калькулятор сложения векторов. Получено с: www.1728.org