МАСШТАБНАЯ ТРАПЕЦИЯ: СВОЙСТВА, ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

Неравносторонним трапеция представляет собой многоугольник с четырех сторон, два из которых расположены параллельно друг другу, и с четырьмя внутренними углами различных мер.

Ниже показан четырехугольник ABCD, где стороны AB и DC параллельны друг другу. Этого достаточно, чтобы получилась трапеция, но внутренние углы α, β, γ и δ различны, поэтому трапеция является разносторонней.

Рис. 1. Четырехугольник ABCD - трапеция по условию 1 и разносторонняя по условию 2. Источник: Ф. Сапата.

Элементы разносторонней трапеции

Вот наиболее характерные элементы:

- Основания и стороны: параллельные стороны трапеции являются ее основаниями, а две непараллельные стороны - сторонами.

У разносторонней трапеции основания бывают разной длины, в том числе и боковые. Однако разносторонняя трапеция может иметь боковую часть, равную по длине основанию.

-Средний: это сегмент, который соединяет середины боковых.

-Диагонали: диагональ трапеции - это отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У трапеции, как и у любого четырехугольника, две диагонали. У разносторонней трапеции они разной длины.

Другие трапеции

Помимо разносторонней трапеции, есть и другие особые трапеции: правая трапеция и равнобедренная трапеция.

Трапеция - это прямоугольник, у которого один из углов прямой, а у равнобедренной трапеции стороны равной длины.

Трапециевидная форма имеет множество применений на уровне дизайна и промышленности, например, в конфигурации крыльев самолетов, форме повседневных предметов, таких как столы, спинки стульев, упаковка, кошельки, текстильные принты и многое другое.

Рис. 2. Трапециевидная форма часто встречается в конфигурации крыльев самолетов. Источник: Wikimedia Commons.

Свойства

Свойства разносторонней трапеции перечислены ниже, многие из которых распространяются на другие типы трапеций. В дальнейшем, когда говорится о «трапеции», это свойство будет применяться к любому типу, включая разносторонний.

1. Медиана трапеции, то есть отрезок, соединяющий середины ее непараллельных сторон, параллелен любому из оснований.

2.- Медиана трапеции имеет длину, которая является полусуммой длины ее оснований, и пересекает ее диагонали в средней точке.

3.- Диагонали трапеции пересекаются в точке, которая делит их на две части, пропорциональные частным оснований.

4.- Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее сторон плюс двойное произведение ее оснований.

5.- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, имеет длину, равную половине разности оснований.

6.- Углы, прилегающие к боковым, являются дополнительными.

7.- У разносторонней трапеции длина диагоналей разная.

8. Трапеция имеет вписанную окружность, только если сумма ее оснований равна сумме ее сторон.

9.- Если трапеция имеет вписанную окружность, то угол с вершиной в центре указанной окружности и сторонами, проходящими через концы стороны трапеции, является прямым.

10.- Разносторонняя трапеция не имеет описанной окружности, единственный тип трапеции - это равнобедренный.

Формулы и уравнения

Следующие соотношения разносторонней трапеции относятся к следующему рисунку.

1.- Если AE = ED и BF = FC → EF - AB и EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, то есть: m = (a + c) / 2.

3. ДИ = IB = d ₁ /2 и АГ = ГХ = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) аналогично CJ / JA = (c / a).

Рис. 3. Медиана и диагонали разносторонней трапеции. Источник: Ф. Сапата.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Эквивалентно:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

То есть:

п = (а - в) / 2

7.- α + δ = 180⁰ и β + γ = 180⁰

8.- Если α ≠ β ≠ γ ≠ δ, то d1 ≠ d2.

9.- На рис. 4 показана разносторонняя трапеция с вписанной окружностью, в этом случае верно следующее:

а + с = г + Ь

10.- В разносторонней трапеции ABCD с вписанной окружностью с центром O справедливо также следующее:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Рис. 4. Если в трапеции проверено, что сумма ее оснований равна сумме боковых сторон, то в нее вписана окружность. Источник: Ф. Сапата.

Рост

Высота трапеции определяется как отрезок, идущий от точки основания перпендикулярно к противоположному основанию (или его продолжению).

Все высоты трапеции имеют одинаковое значение h, поэтому большую часть времени высота слова относится к ее измерению. Короче говоря, высота - это расстояние между основаниями.

Высоту h можно определить, зная длину одной стороны и одного из углов, прилегающих к этой стороне:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Медиана

Мера m медианы трапеции представляет собой полусумму оснований:

т = (а + б) / 2

Диагонали

d ₁ = √

d ₂ = √

Его также можно рассчитать, если известна только длина сторон трапеции:

d ₁ = √

d ₂ = √

периметр

Периметр - это общая длина контура, то есть сумма всех его сторон:

Р = а + б + с + г

Площадь

Площадь трапеции - это полусумма ее оснований, умноженная на ее высоту:

А = h ∙ (a + b) / 2

Его также можно вычислить, если известны медиана m и высота h:

А = м ∙ ч

Если известна только длина сторон трапеции, площадь можно определить с помощью формулы Герона для трапеции:

А = ∙ √

Где s - полупериметр: s = (a + b + c + d) / 2.

Другие соотношения для разносторонней трапеции

Пересечение медианы с диагоналями и параллели, проходящей через пересечение диагоналей, порождает другие отношения.

Рисунок 5. Другие соотношения для разносторонней трапеции. Источник: Ф. Сапата.

-Отношения для медианного EF

EF = (а + с) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Отношения для отрезка, параллельного основаниям KL, и проходящего через точку пересечения J диагоналей

Если KL - AB - DC с J ∈ KL, то KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Построение разносторонней трапеции с линейкой и циркулем

Для оснований длин a и c, где a> cy со сторонами длин b и d, где b> d, выполните следующие действия (см. Рисунок 6):

1.- Правилом рисуется отрезок большой AB.

2.- От A se и на AB отметьте точку P так, чтобы AP = c.

3.- С помощью циркуля с центром в P и радиусом d нарисована дуга.

4.- Центр создается в точке B с радиусом b, рисуя дугу, которая пересекает дугу, нарисованную на предыдущем шаге. Мы называем Q точкой пересечения.

Рис. 6. Построение разносторонней трапеции с учетом ее сторон. Источник: Ф. Сапата.

5.- С центром в точке A нарисуйте дугу радиуса d.

6.- С центром в Q нарисуйте дугу радиуса c, которая пересекает дугу, нарисованную на предыдущем шаге. Точку отсечки будем называть R.

7.- Отрезки BQ, QR и RA начертаны линейкой.

8.- Четырехугольник ABQR - разносторонняя трапеция, поскольку APQR - параллелограмм, что гарантирует, что AB - QR.

пример

В см указаны следующие значения длины: 7, 3, 4 и 6.

а) Определите, можно ли с их помощью построить разностороннюю трапецию, описывающую окружность.

б) Найдите периметр, площадь, длину диагоналей и высоту указанной трапеции, а также радиус вписанной окружности.

- Решение

Используя сегменты длиной 7 и 3 в качестве основания и сегменты длиной 4 и 6 в качестве сторон, можно построить разностороннюю трапецию, используя процедуру, описанную в предыдущем разделе.

Осталось проверить, есть ли у него вписанная окружность, но помня свойство (9):

Мы видим это эффективно:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Тогда условие существования вписанной окружности выполняется.

- Решение б

периметр

Периметр P получается сложением сторон. Так как баз в сумме дает 10, а также боковые, периметр равен:

P = 20 см

Площадь

Для определения площади, известной только ее стороны, применяется соотношение:

А = ∙ √

Где s - полупериметр:

s = (а + б + с + г) / 2.

В нашем случае полупериметр составляет s = 10 см. После подстановки соответствующих значений:

а = 7 см; б = 6 см; c = 3 см; d = 4 см

Остается:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 см².

Рост

Высота h связана с площадью A следующим выражением:

A = (a + c) ∙ h / 2, откуда можно получить высоту, очистив:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

r = h / 2 = 1,984 см

Диагонали

Наконец, находим длину диагоналей:

d ₁ = √

d ₂ = √

Правильно подставляя значения, мы имеем:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

То есть: d ₁ = 4,69 см и d ₂ = 8,49 см.

Рис. 7. Чешуйчатая трапеция, отвечающая условию существования вписанной окружности. Источник: Ф. Сапата.

Упражнение решено

Определите внутренние углы трапеции с основаниями AB = a = 7, CD = c = 3 и боковыми углами BC = b = 6, DA = d = 4.

Решение

Теорема косинусов может применяться для определения углов. Например, угол ∠A = α определяется из треугольника ABD с AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 и DA = d = 4.

Теорема косинусов, примененная к этому треугольнику, выглядит так:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), то есть:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Решая для, получаем косинус угла α:

Cos (α) = -1/8

То есть α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Остальные углы получаются таким же образом, их значения:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ и, наконец, δ = 82,82⁰.

Ссылки

1. CEA (2003). Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
2. Кампос, Ф., Сереседо, Ф.Дж. (2014). Математика 2. Grupo Editor Patria.
3. Фрид, К. (2007). Откройте для себя полигоны. Компания Benchmark Education.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщенные многоугольники. Birkhäuser.
5. ИГЕР. (SF). Математика Первый семестр Такана. ИГЕР.
6. Геометрия младшего. (2014). Полигоны. Lulu Press, Inc.
7. Миллер, Херен и Хорнсби. (2006). Математика: рассуждение и приложения (десятое издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакция Прогресо.
9. Wikipedia. Трапеция. Получено с: es.wikipedia.com