ТЕОРЕМА ТОРРИЧЕЛЛИ: ИЗ ЧЕГО ОНА СОСТОИТ, ФОРМУЛЫ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Теорема Торричелли или принцип Торричелли утверждает , что скорость жидкости , выходящей из отверстия в стенке резервуара или контейнер, идентична тому , что приобретает объект свободно падает с высоты , равную поверхность без жидкости в отверстие.

Теорема проиллюстрирована на следующем рисунке:

Иллюстрация теоремы Торричелли. Источник: самодельный.

В соответствии с теоремой Торричелли мы можем утверждать, что скорость выхода жидкости через отверстие, находящееся на высоте h ниже свободной поверхности жидкости, определяется следующей формулой:

Где g - ускорение свободного падения, а h - высота от отверстия до свободной поверхности жидкости.

Евангелиста Торричелли был физиком и математиком, родившимся в городе Фаэнца, Италия, в 1608 году. Торричелли приписывают изобретение ртутного барометра, и в знак признания существует единица измерения давления под названием «торр», эквивалентная одному миллиметру ртутного столба. (мм рт. ст.).

Доказательство теоремы

В теореме Торричелли и в формуле, которая дает скорость, предполагается, что потери вязкости незначительны, так же как при свободном падении предполагается, что трение из-за воздуха, окружающего падающий объект, незначительно.

Вышеприведенное предположение является разумным в большинстве случаев и также предполагает сохранение механической энергии.

Чтобы доказать теорему, мы сначала найдем формулу скорости для объекта, который выпущен с нулевой начальной скоростью с той же высоты, что и поверхность жидкости в резервуаре.

Принцип сохранения энергии будет применяться для определения скорости падающего объекта, когда он спустится на высоту h, равную высоте от отверстия до свободной поверхности.

Поскольку потери на трение отсутствуют, можно применять принцип сохранения механической энергии. Предположим, что падающий объект имеет массу m, а высота h измеряется от уровня выхода жидкости.

Падающий объект

Когда объект выпускается с высоты, равной высоте свободной поверхности жидкости, его энергия является только гравитационным потенциалом, поскольку его скорость равна нулю и, следовательно, его кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия Ep определяется как:

Ep = mgh

Когда он проходит перед отверстием, его высота равна нулю, тогда потенциальная энергия равна нулю, поэтому у него есть только кинетическая энергия Ec, определяемая как:

Ec = ½ мВ ²

Поскольку энергия сохраняется, Ep = Ec из того, что получается:

½ mv ² = mgh

Решая для скорости v, получается формула Торричелли:

Жидкость выходит из отверстия

Затем мы найдем скорость выхода жидкости через отверстие, чтобы показать, что она совпадает с той, которая была только что рассчитана для свободно падающего объекта.

Для этого мы будем опираться на принцип Бернулли, который представляет собой не что иное, как сохранение энергии применительно к жидкостям.

Принцип Бернулли формулируется так:

Интерпретация этой формулы следующая:

• Первый член представляет собой кинетическую энергию жидкости на единицу объема.
• Второй представляет собой работу, выполняемую давлением на единицу площади поперечного сечения.
• Третья представляет собой гравитационную потенциальную энергию на единицу объема жидкости.

Поскольку мы исходим из предпосылки, что это идеальная жидкость в нетурбулентных условиях с относительно низкими скоростями, то уместно утверждать, что механическая энергия на единицу объема жидкости постоянна во всех ее областях или поперечных сечениях.

В этой формуле V - скорость жидкости, ρ - плотность жидкости, P - давление, а z - вертикальное положение.

На рисунке ниже показана формула Торричелли, основанная на принципе Бернулли.

Применим формулу Бернулли к свободной поверхности жидкости, которую мы обозначим через (1), и к выходному отверстию, которое мы обозначим через (2). Уровень нулевого напора выбран заподлицо с выпускным отверстием.

При условии, что поперечное сечение в (1) намного больше, чем в (2), мы можем предположить, что скорость спуска жидкости в (1) практически ничтожна.

По этой причине было установлено V ₁ = 0, давление, которому жидкость подвергается в (1), является атмосферным давлением, а высота, измеренная от отверстия, равна h.

Для выходной части (2) мы предполагаем, что скорость на выходе равна v, давление, которому жидкость подвергается на выходе, также является атмосферным давлением, а высота выхода равна нулю.

Значения, соответствующие разделам (1) и (2), подставляются в формулу Бернулли и устанавливаются равными. Равенство выполняется, поскольку мы предполагаем, что жидкость идеальна и потерь на вязкое трение нет. После того, как все термины были упрощены, получается скорость в выходном отверстии.

В рамке выше показано, что полученный результат такой же, как и для свободно падающего объекта.

Решенные упражнения

Упражнение 1

I ) Маленькая выпускная труба резервуара для воды находится на 3 м ниже поверхности воды. Рассчитайте скорость выхода воды.

Решение:

На следующем рисунке показано, как в этом случае применяется формула Торричелли.

Упражнение 2.

II ) Предполагая, что выпускной патрубок резервуара из предыдущего упражнения имеет диаметр 1 см, рассчитайте расход воды на выходе.

Решение:

Скорость потока - это объем жидкости, выходящей за единицу времени, и рассчитывается простым умножением площади выходного отверстия на выходную скорость.

На следующем рисунке показаны подробности расчета.

Упражнение 3.

III ) Определите, насколько высока свободная поверхность воды в емкости, если вы знаете

что в отверстии в дне емкости вода выходит со скоростью 10 м / с.

Решение:

Формула Торричелли может применяться даже тогда, когда отверстие находится на дне емкости.

На следующем рисунке показаны детали расчетов.

Ссылки

1. Wikipedia. Теорема Торричелли.
2. Хьюитт П. Концептуальная физика. Издание пятое .119.
3. Янг, Хью. 2016. Физика Университета Сирса-Земанского с современной физикой. 14-е изд. Пирсон. 384.