ПРАВИЛО СИМПСОНА: ФОРМУЛА, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Симпсон «ы правило является метод расчета, приблизительно, определенных интегралов. Он основан на делении интервала интегрирования на четное количество равноотстоящих подинтервалов.

Крайние значения двух последовательных подинтервалов определяют три точки, по которым подходит парабола, уравнение которой является полиномом второй степени.

Рис. 1. В методе Симпсона интервал интегрирования разбивается на четное число интервалов равной ширины. Функция аппроксимируется параболой через каждые 2 подинтервала, а интеграл аппроксимируется суммой площади под параболами. Источник: upv.es.

Затем площадь под кривой функции в двух последовательных интервалах аппроксимируется площадью интерполяционного полинома. Добавляя вклад в площадь под параболой всех последовательных подинтервалов, мы получаем приблизительное значение интеграла.

С другой стороны, поскольку интеграл от параболы может быть вычислен алгебраически точно, то можно найти аналитическую формулу для приближенного значения определенного интеграла. Это известно как формула Симпсона.

Погрешность полученного таким образом приближенного результата уменьшается по мере увеличения числа подразделений n (где n - четное число).

Ниже будет приведено выражение, позволяющее оценить верхнюю границу ошибки приближения интеграла I, когда выполнено разбиение n регулярных подинтервалов всего интервала.

формула

Интервал интегрирования разделен на n подинтервалов, где n - четное целое число. Ширина каждого подразделения будет:

h = (b - a) / n

Таким образом, разбиение выполняется по интервалу:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Где X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Формула, позволяющая аппроксимировать определенный интеграл I от непрерывной и предпочтительно гладкой функции в интервале:

демонстрация

Чтобы получить формулу Симпсона, в каждом подынтервале функция f (X) аппроксимируется полиномом второй степени p (X) (параболой), проходящим через три точки :; и .

Затем вычисляется интеграл от полинома p (x), в котором он аппроксимирует интеграл от функции f (X) в этом интервале.

Рисунок 2. График, демонстрирующий формулу Симпсона. Источник: Ф. Сапата.

Коэффициенты интерполяционного полинома

Уравнение параболы p (X) имеет общий вид: p (X) = AX ² + BX + C. Поскольку парабола проходит через точки Q, указанные красным (см. Рисунок), то коэффициенты A, B, C определяются из следующей системы уравнений:

А (-h) ² - В h + C = f (Xi)

С = f (Xi + 1)

А (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Видно, что коэффициент C определен. Для определения коэффициента A складываем первое и третье уравнения, получая:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Затем значение C подставляется и A очищается, оставляя:

А = / (2 ч ² )

Чтобы определить коэффициент B, вычтите третье уравнение из первого и решите относительно B, получив:

B = = 2 ч.

Таким образом, многочлен второй степени p (X), который проходит через точки Qi, Qi + 1 и Qi + 2, имеет коэффициенты:

А = / (2 ч ² )

B = = 2 часа

С = f (Xi + 1)

Вычисление приближенного интеграла в

Приближенный расчет интеграла в

Как уже упоминалось, разбиение {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} выполняется на общем интервале интегрирования с шагом h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, где n - четное число.

Ошибка приближения

Обратите внимание, что ошибка уменьшается с четвертой степенью количества делений в интервале. Например, если вы перейдете от n подразделений к 2n, то ошибка уменьшится в 1/16 раза.

Верхняя граница ошибки, полученная с помощью приближения Симпсона, может быть получена из той же формулы, заменив четвертой производной максимальное абсолютное значение четвертой производной в интервале.

Примеры работы

- Пример 1

Рассмотрим функцию f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Найти определенный интеграл от функции f (X) на отрезке методом Симпсона с двумя делениями (n = 2).

Решение

Возьмем n = 2. Пределы интегрирования a = -1 и b = -2, поэтому разбиение выглядит так:

Х0 = -1; X1 = 0 и X2 = +1.

Следовательно, формула Симпсона принимает следующий вид:

Рисунок 3. Пример численного интегрирования по правилу Симпсона с использованием программного обеспечения. Источник: Ф. Сапата.

Ссылки

1. Кастелейро, JM 2002. Комплексное исчисление (иллюстрированное издание). Мадрид: Редакция ESIC.
2. УПВ. Метод Симпсона. Политехнический университет Валенсии. Получено с: youtube.com
3. Перселл, Э. 2007. Исчисление Девятое издание. Прентис Холл.
4. Wikipedia. Правило Симпсона. Получено с: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Полиномиальная интерполяция Лагранжа. Получено с: es.wikipedia.com