НАКЛОННЫЕ ЛИНИИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, УРАВНЕНИЯ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти косые линии являются те , которые имеют наклон, либо по отношению к плоской поверхности или другой линии с указанием конкретного адреса. В качестве примера рассмотрим три линии, нарисованные на плоскости, которые показаны на следующем рисунке.

Мы знаем, что их соответствующие относительные позиции, потому что мы сравниваем их к опорной линии, которая, как правило, ось х, обозначая горизонталь.

Рисунок 1. Вертикальные, горизонтальные и наклонные линии в одной плоскости. Источник: Ф. Сапата.

Таким образом, при выборе горизонтали в качестве ориентира линия слева будет вертикальной, линия в центре - горизонтальной, а линия справа - наклонной, поскольку она наклонена по отношению к дневным ориентирам.

Теперь линии, которые находятся на одной плоскости, например на поверхности бумаги или на экране, занимают разные позиции относительно друг друга, в зависимости от того, пересекаются они или нет. В первом случае это секущие линии, а во втором - параллельные.

С другой стороны, секущие линии могут быть наклонными или перпендикулярными линиями. В обоих случаях наклон линий разный, но наклонные линии образуют углы α и β друг с другом, отличные от 90º, тогда как углы, определяемые перпендикулярными линиями, всегда равны 90º.

На следующем рисунке приведены эти определения:

Рис. 2. Относительные положения между линиями: параллельными, наклонными и перпендикулярными, отличаются углом, который они образуют друг с другом. Источник: Ф. Сапата.

Уравнения

Чтобы узнать взаимное расположение линий на плоскости, необходимо знать угол между ними. Обратите внимание на следующие строки:

Параллельно : если они имеют одинаковый уклон (одинаковое направление) и никогда не пересекаются, их точки равноудалены.

Совпадения : когда все его точки совпадают и, следовательно, имеют одинаковый наклон, но расстояние между его точками равно нулю.

Сушилки : если их уклоны разные, расстояние между их точками меняется, и пересечение является одной точкой.

Таким образом, один из способов узнать, являются ли две прямые на плоскости секущими или параллельными, - это определить их наклон. Критерии параллельности и перпендикулярности линий следующие:

Если, зная наклон двух линий на плоскости, ни один из вышеперечисленных критериев не соблюден, мы делаем вывод, что линии наклонные. Зная две точки на линии, наклон вычисляется немедленно, как мы увидим в следующем разделе.

Вы можете узнать, являются ли две прямые секущими или параллельными, найдя их пересечение, решив систему уравнений, которую они образуют: если есть решение, они секущие, если нет решения, они параллельны, но если решения бесконечны, линии совпадают.

Однако этот критерий не сообщает нам об угле между этими линиями, даже если они пересекаются.

Чтобы узнать угол между линиями, нам нужны два вектора u и v , принадлежащие каждому из них. Таким образом, можно узнать угол, который они образуют, с помощью скалярного произведения векторов, определенных таким образом:

u • v = uvcos α

Уравнение прямой на плоскости

Линия в декартовой плоскости может быть представлена ​​несколькими способами, например:

- Форма пересечения наклона: если m - наклон прямой, а b - пересечение прямой с вертикальной осью, уравнение прямой будет y = mx + b.

- Общее уравнение прямой : Ax + By + C = 0, где m = A / B - наклон.

В декартовой плоскости вертикальные и горизонтальные линии являются частными случаями уравнения прямой.

- Вертикальные линии : x = a

- Горизонтальные линии : y = k

Рис. 3. Слева вертикальная линия x = 4 и горизонтальная линия y = 6. Справа - пример наклонной линии. Источник: Ф. Сапата.

В примерах на рисунке 3 вертикальная красная линия соответствует уравнению x = 4, а линия, параллельная оси x (синяя), имеет уравнение y = 6. Что касается линии справа, мы видим, что она наклонная. и чтобы найти его уравнение, мы используем точки, выделенные на рисунке: (0,2) и (4,0) таким образом:

Как видно из графика, разрез этой прямой с вертикальной осью равен y = 2. С этой информацией:

Определить угол наклона относительно оси x несложно. Я чувствую что:

Следовательно, положительный угол от оси x к прямой равен: 180 ° - 26,6 ° = 153,4 °.

Примеры наклонных линий

Рисунок 4. Примеры наклонных линий. Источник: фехтовальщик Ян Паттерсон. Пизанская башня. Pixabay.

Наклонные линии появляются во многих местах, нужно обращать внимание, чтобы найти их в архитектуре, спорте, электропроводке, трубах и многих других местах. В природе также присутствуют наклонные линии, как мы увидим ниже:

Лучи света

Солнечный свет движется по прямой линии, но круглая форма Земли влияет на то, как солнечный свет попадает на поверхность.

На изображении ниже мы можем ясно видеть, что солнечные лучи падают перпендикулярно в тропических регионах, но вместо этого наклонно достигают поверхности в регионах с умеренным климатом и на полюсах.

Вот почему солнечные лучи проходят через атмосферу на большее расстояние, а также тепло распространяется по большей поверхности (см. Рисунок). В результате области около полюсов становятся более холодными.

Рис. 5. Солнечные лучи падают наклонно в умеренных зонах и на полюсах, вместо этого они более или менее перпендикулярны в тропиках. Источник: Wikimedia Commons.

Линии, которые не находятся в одной плоскости

Когда две линии не находятся в одной плоскости, они могут быть наклонными или искривленными, как их еще называют. В этом случае их векторы директора не параллельны, но поскольку они не принадлежат одной плоскости, эти прямые не пересекаются.

Например, линии на рисунке 6 справа явно находятся в разных плоскостях. Если вы посмотрите на них сверху, то увидите, что они пересекаются, но у них нет общей точки. Справа мы видим колеса велосипеда, спицы которых кажутся пересекающимися при взгляде спереди.

Рисунок 6. Наклонные линии, принадлежащие разным плоскостям. Источник: слева Ф. Сапата, справа Pixabay.

Ссылки

1. Геометрия. Директорный вектор линии. Получено с: juanbragado.es.
2. Ларсон, Р. 2006. Исчисление с аналитической геометрией. 8-е. Издание. Макгроу Хилл.
3. Математика - это игра. Линии и углы. Получено с: juntadeandalucia.es.
4. Прямые пересекающиеся. Получено с: profesoraltuna.com.
5. Виллена, М. Аналитическая геометрия в R3. Получено с: dspace.espol.edu.ec.