ТЕСТ МАННА U - ДУДАС - 2025

Манна - Уитни U тест применяется для сравнения двух независимых выборок , когда они имеют мало данных или не следуют нормальному распределению. Таким образом, он считается непараметрическим тестом, в отличие от его гомологичного t-критерия Стьюдента, который используется, когда выборка достаточно велика и следует нормальному распределению.

Фрэнк Уилкоксон впервые предложил его в 1945 году для образцов одинакового размера, но два года спустя Генри Манн и Д.Р. Уитни расширили его для образцов разных размеров.

Рисунок 1. U-критерий Манна-Уитни применяется для сравнения независимых выборок. Источник: Pixabay.

Тест часто применяется, чтобы проверить, существует ли связь между качественной и количественной переменной.

Наглядный пример - взять группу людей с гипертонией и выделить две группы, в которых записываются ежедневные данные об артериальном давлении в течение одного месяца.

Лечение A применяется к одной группе, а лечение B. - к другой. Здесь артериальное давление является количественной переменной, а тип лечения - качественным.

Мы хотим знать, является ли среднее, а не среднее значение измеренных значений статистически одинаковым или различным, чтобы установить, есть ли разница между обоими видами лечения. Для получения ответа применяется статистика Вилкоксона или U-критерий Манна-Уитни.

Постановка задачи в U-тесте Манна-Уитни.

Другой пример, в котором можно применить этот тест:

Предположим, вы хотите узнать, существенно ли различается потребление безалкогольных напитков в двух регионах страны.

Один из них называется регионом A, а другой - регионом B. Учет литров, потребляемых еженедельно, ведется в двух выборках: один из 10 человек для региона A и другой из 5 человек для региона B.

Данные следующие:

-Регион A : 16, 11, 14, 21, 18, 34, 22, 7, 12, 12

-Регион B : 12,14, 11, 30, 10

Возникает следующий вопрос:

Качественные переменные в сравнении с количественными переменными

-Качественная переменная X : Регион

-Количественная переменная Y : потребление безалкогольных напитков

Если количество израсходованных литров одинаково в обоих регионах, вывод будет заключаться в отсутствии зависимости между двумя переменными. Чтобы узнать это, сравните среднюю или медианную тенденцию для двух регионов.

Нормальный случай

Если данные подчиняются нормальному распределению, предлагаются две гипотезы: нулевое значение H0 и альтернативное значение H1 путем сравнения средних значений:

- H0 : нет разницы между средним значением двух регионов.

- H1 : средства обоих регионов разные.

Случай с ненормальным трендом

Напротив, если данные не соответствуют нормальному распределению или выборка слишком мала, чтобы знать об этом, вместо сравнения среднего будет сравниваться медиана двух регионов.

- H0 : нет разницы между медианными значениями двух регионов.

- H1 : медианы обоих регионов разные.

Если медианы совпадают, то выполняется нулевая гипотеза: нет никакой связи между потреблением безалкогольных напитков и регионом.

А если произойдет обратное, верна альтернативная гипотеза: существует взаимосвязь между потреблением и регионом.

Именно для этих случаев показан U-критерий Манна - Уитни.

Парные или непарные образцы

Следующий важный вопрос при принятии решения о том, применять ли U-критерий Манна-Уитни, заключается в том, одинаково ли количество данных в обеих выборках, то есть они равны.

Если эти два образца объединены, будет применяться оригинальная версия Вилкоксона. Но если нет, как в примере, то применяется модифицированный критерий Вилкоксона, который является в точности U-критерием Манна-Уитни.

Характеристики U-критерия Манна-Уитни

U-критерий Манна-Уитни - это непараметрический тест, применимый к выборкам, которые не соответствуют нормальному распределению или имеют мало данных. Он имеет следующие характеристики:

1.- Сравните медианы

2.- Работает на заказанных диапазонах

3.- Он менее мощный, то есть сила - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она на самом деле ложна.

Принимая во внимание эти характеристики, U-критерий Манна-Уитни применяется, когда:

-Данные независимы

-Они не соответствуют нормальному распределению

-Нулевая гипотеза H0 принимается, если медианы двух выборок совпадают: Ma = Mb

-Альтернативная гипотеза H1 принимается, если медианы двух выборок различаются: Ma Mb

Формула Манна-Уитни

Переменная U - это статистика контрастности, используемая в тесте Манна-Уитни, и определяется следующим образом:

Это означает, что U - наименьшее из значений между Ua и Ub, применяемое к каждой группе. В нашем примере это будет для каждого региона: A или B.

Переменные Ua и Ub определяются и вычисляются по следующей формуле:

Ua = Na Nb + Na (Na +1) / 2 - Ra

Ub = Na Nb + Nb (Nb +1) / 2 - Rb

Здесь значения Na и Nb - это размеры выборок, соответствующих областям A и B соответственно, и, со своей стороны, Ra и Rb - это суммы рангов, которые мы определим ниже.

Шаги по применению теста

1.- Закажите значения двух образцов.

2.- Назначьте порядковый номер каждому значению.

3.- Исправьте существующие связи в данных (повторяющиеся значения).

4.- Рассчитайте Ra = Сумма рангов образца A.

5.- Найдите Rb = сумма рангов образца B.

6.- Определите значения Ua и Ub в соответствии с формулами, приведенными в предыдущем разделе.

7.- Сравните Ua и Ub, и меньшее из двух присваивается экспериментальной статистике U (то есть данным), которая сравнивается с теоретической или нормальной статистикой U.

Пример практического применения

Теперь применим вышеупомянутое к проблеме безалкогольных напитков, поднятой ранее:

Область A: 16, 11, 14, 21, 18, 34, 22, 7, 12, 12

Регион B: 12,14, 11, 30, 10

В зависимости от того, являются ли средние значения обеих выборок статистически одинаковыми или разными, нулевая гипотеза принимается или отклоняется: нет связи между переменными Y и X, то есть потребление безалкогольных напитков не зависит от региона:

H0: Ma = Mb

H1: Ma ≠ Mb

Рисунок 2. Данные о потреблении безалкогольных напитков в регионах A и B. Источник: F. Zapata.

- Шаг 1

Мы переходим к совместному упорядочиванию данных для двух выборок, упорядочивая значения от наименьшего к наибольшему:

Обратите внимание, что значение 11 появляется 2 раза (по одному разу в каждой выборке). Первоначально он имеет позиции или диапазоны 3 и 4, но чтобы не переоценивать или недооценивать одно или другое, в качестве диапазона выбрано среднее значение, то есть 3,5.

Аналогичным образом поступаем со значением 12, которое повторяется трижды с диапазонами 5, 6 и 7.

Что ж, значению 12 соответствует средний диапазон 6 = (5 + 6 + 7) / 3. То же самое для значения 14, которое имеет лигатуру (присутствует в обоих образцах) в положениях 8 и 9, ему присваивается средний диапазон 8,5 = (8 + 9) / 2.

- Шаг 2

Затем данные для регионов A и B снова разделяются, но теперь их соответствующие диапазоны назначаются в другой строке:

Регион А

Регион B

Диапазоны Ra и Rb получаются из сумм элементов второй строки для каждого случая или региона.

Шаг 3

Рассчитываются соответствующие значения Ua и Ub:

Ua = 10 × 5 + 10 (10 + 1) / 2 - 86 = 19

Ub = 10 × 5 + 5 (5 + 1) / 2-34 = 31

Экспериментальное значение U = min (19, 31) = 19

Шаг 4

Предполагается, что теоретическое U следует нормальному распределению N с параметрами, определяемыми исключительно размером выборки:

N ((na⋅nb) / 2, √)

Чтобы сравнить переменную U, полученную экспериментально, с теоретической U необходимо произвести замену переменной. Мы переходим от экспериментальной переменной U к ее стандартизированному значению, которое будет называться Z, чтобы иметь возможность провести сравнение со стандартизированным нормальным распределением.

Изменение переменной происходит следующим образом:

Z = (U - na.nb / 2) / √

Следует отметить, что для изменения переменной использовались параметры теоретического распределения для U. Затем новая переменная Z, которая представляет собой гибрид между теоретическим U и экспериментальным U, противопоставляется стандартизованному нормальному распределению N (0,1 ).

Критерии сравнения

Если Z ≤ Zα ⇒ принимается нулевая гипотеза H0.

Если Z> Zα ⇒ отвергнуть нулевую гипотезу H0

Стандартизированные критические значения Zα зависят от требуемого уровня достоверности, например, для уровня достоверности α = 0,95 = 95%, который является наиболее обычным, получается критическое значение Zα = 1,96.

Для данных, показанных здесь:

Z = (U - na nb / 2) / √ = -0,73

Что ниже критического значения 1,96.

Итак, окончательный вывод состоит в том, что нулевая гипотеза H0 принимается:

Онлайн-калькуляторы для теста Манна - Уитни U

Существуют специальные программы для статистических расчетов, в том числе SPSS и MINITAB, но эти программы платные, и их использование не всегда просто. Это связано с тем, что они предоставляют так много вариантов, что их использование практически зарезервировано для экспертов по статистике.

К счастью, существует ряд очень точных, бесплатных и простых в использовании онлайн-программ, которые, в частности, позволяют запускать U-тест Манна-Уитни.

Эти программы:

- Статистика социальных наук (socscistatistics.com), в которой есть как критерий Манна-Уитни U, так и критерий Вилкоксона в случае сбалансированных или парных выборок.

-AI Therapy Statistics (ai-therapy.com), в котором есть несколько обычных тестов описательной статистики.

-Statistic to Use (Physics.csbsju.edu/stats), один из старейших, поэтому его интерфейс может выглядеть устаревшим, хотя это, тем не менее, очень эффективная бесплатная программа.

Ссылки

1. Дитрихсон. Количественные методы: ранговый тест. Получено с: bookdown.org
2. Марин Дж. П. Руководство по SPSS: Анализ и процедуры непараметрических тестов. Получено с: halweb.uc3m.es
3. USAL MOOC. Непараметрические тесты: Mann-Whitney U. Получено с: youtube.com
4. Wikipedia. U-критерий Манна-Уитни. Получено с: es.wikipedia.com
5. XLSTAT. Центр помощи. Руководство по тесту Манна-Уитни в Excel. Получено с: help.xlsat.com