КОНГРУЭНТНОСТЬ: СОВПАДАЮЩИЕ ФИГУРЫ, КРИТЕРИИ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Конгруэнтность в геометрии говорит , что если две плоские фигуры имеют в ту же форму и размеры, они совпадают. Например, два сегмента совпадают, если их длины равны. Точно так же конгруэнтные углы имеют одинаковую меру, даже если они не ориентированы одинаково на плоскости.

Термин «конгруэнтность» происходит от латинского congruentia, что означает соответствие. Таким образом, две совпадающие фигуры точно соответствуют друг другу.

Рис. 1. Четырехугольники ABCD и A'B'C'D 'на этом рисунке конгруэнтны: их стороны имеют ту же меру, что и их внутренние углы. Источник: Ф. Сапата.

Например, если мы наложим на изображение два четырехугольника, мы обнаружим, что они совпадают, так как расположение их сторон одинаково и их размеры совпадают.

Поместив четырехугольники ABCD и A'B'C'D друг на друга, фигуры будут точно совпадать. Совпадающие стороны называются гомологичными или соответствующими сторонами, а символ ≡ используется для обозначения конгруэнтности. Таким образом, мы можем сказать, что ABCD ≡ A'B'C'D '.

Критерии конгруэнтности

Для конгруэнтных многоугольников характерны следующие характеристики:

-Той же формы и размера.

-Идентичные измерения их углов.

- Такая же мера с каждой стороны.

В случае, если два рассматриваемых многоугольника являются правильными, то есть все стороны и внутренние углы имеют одинаковые размеры, совпадение обеспечивается при выполнении любого из следующих условий:

-Стороны совпадают

- Апофемы имеют одинаковую меру

-Радиус каждого многоугольника одинаков

Апофема правильного многоугольника - это расстояние между центром и одной из сторон, а радиус соответствует расстоянию между центром и вершиной или углом фигуры.

Критерии конгруэнтности используются часто, потому что очень много деталей и деталей всех видов производятся серийно и должны иметь одинаковую форму и размеры. Таким образом, их можно легко заменить при необходимости, например, гайки, болты, листы или брусчатку на земле на улице.

Рис. 2. Брусчатка улицы - это одинаковые фигуры, поскольку их форма и размеры точно такие же, хотя их ориентация на полу может меняться. Источник: Pixabay.

Соответствие, идентичность и сходство

Существуют геометрические концепции, связанные с конгруэнтностью, например идентичные фигуры и похожие фигуры, которые не обязательно подразумевают, что фигуры конгруэнтны.

Обратите внимание, что конгруэнтные фигуры идентичны, однако четырехугольники на рисунке 1 могут быть по-разному ориентированы на плоскости и при этом оставаться конгруэнтными, поскольку различная ориентация не меняет размер их сторон или их углы. В этом случае они больше не будут идентичными.

Другая концепция заключается в сходстве фигур: две плоские фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму и их внутренние углы равны, хотя размеры фигур могут быть разными. В этом случае цифры не совпадают.

Примеры сравнения

- Соответствие углов

Как мы указали в начале, конгруэнтные углы имеют одинаковую меру. Есть несколько способов получить конгруэнтные углы:

Пример 1

Две линии с общей точкой определяют два угла, называемые противоположными углами из-за вершины. Эти углы имеют одинаковую меру, поэтому они совпадают.

Рис. 3. Противоположные углы при вершине. Источник: Wikimedia Commons.

Пример 2

Есть две параллельные прямые и прямая t, пересекающая их. Как и в предыдущем примере, когда эта линия пересекает параллели, она образует конгруэнтные углы, по одному на каждой линии с правой стороны и еще два с левой стороны. На рисунке справа от прямой t показаны α и α ₁ , которые совпадают.

Рисунок 4. Углы, показанные на рисунке, совпадают. Источник: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Пример 3

В параллелограмме четыре внутренних угла, которые равны двум и двум. Они находятся между противоположными вершинами, как показано на следующем рисунке, на котором два угла, отмеченные зеленым цветом, совпадают, а также два угла, отмеченные красным.

Рис. 5. Внутренние углы параллелограмма равны два на два. Источник: Wikimedia Commons.

- Конгруэнтность треугольников

Два треугольника одинаковой формы и размера конгруэнтны. Чтобы убедиться в этом, есть три критерия, которые можно исследовать в поисках совпадения:

- Критерий LLL : три стороны треугольников имеют одинаковые меры, поэтому L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ и L ₃ = L' _3.

Рис. 6. Пример конгруэнтных треугольников, стороны которых имеют одинаковые размеры. Источник: Ф. Сапата.

- Критерии ALA и AAL : треугольники имеют два равных внутренних угла, и сторона между этими углами имеет одинаковую величину.

Рисунок 7. Критерии ALA и AAL для соответствия треугольника. Источник: Wikimedia Commons.

- Критерий LAL : две стороны идентичны (соответствуют) и между ними одинаковый угол.

Рис. 8. LAL-критерий конгруэнтности треугольников. Источник: Wikimedia Commons.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

На следующем рисунке показаны два треугольника: ΔABC и ΔECF. Известно, что AC = EF, AB = 6 и CF = 10. Кроме того, углы ∡BAC и ∡FEC совпадают, а углы ∡ACB и ∡FCB также совпадают.

Рисунок 9. Треугольники для рабочего примера 1. Источник: Ф. Сапата.

Тогда длина отрезка BE равна:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Решение

Поскольку два треугольника имеют сторону равной длины AC = EF между равными углами ∡BAC = ∡CEF и ∡BCA = ∡CFE, можно сказать, что эти два треугольника совпадают по критерию ALA.

То есть ΔBAC ≡ ΔCEF, поэтому мы должны:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Но рассчитываемый отрезок: BE = BC - EC = 10-6 = 4.

Итак, правильный ответ (iii).

- Упражнение 2.

На рисунке ниже показаны три треугольника. Также известно, что два указанных угла составляют 80º каждый и что отрезки AB = PD и AP = CD. Найдите значение угла X, указанное на рисунке.

Рисунок 10. Треугольники для разрешенного примера 2. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Вы должны применить свойства треугольников, которые подробно описываются шаг за шагом.

Шаг 1

Начиная с критерия конгруэнтности треугольника LAL, можно сказать, что треугольники BAP и PDC конгруэнтны:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Шаг 2

Сказанное выше приводит к утверждению, что BP = PC, поэтому треугольник ΔBPC равнобедренный и ∡PCB = ∡PBC = X.

Шаг 3

Если назвать угол BPC γ, то получится:

2x + γ = 180º

Шаг 4

И если мы назовем углы APB и DCP β и α углами ABP и DPC, то получим:

α + β + γ = 180º (так как APB - плоский угол).

Шаг 5

Кроме того, α + β + 80º = 180º на сумму внутренних углов треугольника APB.

Шаг 6

Объединяя все эти выражения, мы получаем:

α + β = 100º

Шаг 7

И поэтому:

γ = 80º.

Шаг 8

Наконец, следует, что:

2X + 80º = 180º

С X = 50º.

Ссылки

1. Балдор А. 1973. Плоская и космическая геометрия. Центральноамериканская культура.
2. Фундамент СК-12. Конгруэнтные многоугольники. Получено с: ck 12.org.
3. Наслаждайтесь математикой. Определения: Радиус (многоугольник). Получено с: Enjoyylasmatematicas.com.
4. Открытый справочник по математике. Тестирование полигонов на соответствие. Получено с: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Конгруэнтность (геометрия). Получено с: es.wikipedia.org.
6. Сапата, Ф. Треугольники, история, элементы, классификация, свойства. Получено с: lifeder.com.