ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ: КАК ПОЛУЧИТЬ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2026

Теоретическая (или Лаплас) вероятность наступления события Е , произошедшие , что принадлежит к пространству образца S, в котором все события имеют одинаковую вероятность появления, определяются в математических обозначениях следующим образом: P (E) = N (Е) / N (S)

Где P (E) - вероятность, выраженная как частное между общим количеством возможных исходов события E, которое мы называем n (E), деленным на общее количество N (S) возможных исходов в пространстве выборки S.

Рис. 1. При подбрасывании шестигранной кости теоретическая вероятность того, что головка с тремя точками окажется сверху, равна. Источник: Pixabay.

Теоретическая вероятность - это действительное число от 0 до 1, но часто она выражается в процентах, и в этом случае вероятность будет значением от 0 до 100%.

Расчет вероятности наступления события очень важен во многих областях, таких как торговля, страховые компании, азартные игры и многие другие.

Как получить теоретическую вероятность?

Показательный случай - розыгрыши или лотереи. Предположим, на розыгрыш смартфона выпущено 1000 билетов. Поскольку розыгрыш является случайным, любой из билетов имеет равные шансы на победу.

Чтобы определить вероятность того, что человек, купивший билет с номером 81, станет победителем, выполняется следующий теоретический расчет вероятности:

P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%

Приведенный выше результат интерпретируется следующим образом: если розыгрыш повторяется бесконечно много раз, то каждые 1000 раз билет 81 будет выбираться в среднем один раз.

Если по какой-то причине кто-то приобретет все билеты, он обязательно выиграет приз. Вероятность выигрыша приза, если у вас есть все билеты, рассчитывается следующим образом:

P (1000) = 1000/1000 = 1 = 100%.

То есть вероятность 1 или 100% означает полную уверенность в том, что такой результат произойдет.

Если у кого-то есть 500 билетов, шансы на победу или поражение одинаковы. Теоретическая вероятность выигрыша приза в этом случае рассчитывается следующим образом:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Тот, кто не купит билет, не имеет шансов на выигрыш, и его теоретическая вероятность определяется следующим образом:

P (0) = 0/1000 = 0 = 0%

Примеры

Пример 1

У вас есть монета с циферблатом с одной стороны и щитом или печатью с другой. Когда монета подбрасывается, какова теоретическая вероятность того, что она выпадет орлом?

P (лицо) = n (лицо) / N (лицо + экран) = ½ = 0,5 = 50%

Результат интерпретируется следующим образом: если было сделано огромное количество бросков, в среднем через каждые 2 броска одна из них выпадала решкой.

В процентном отношении результат интерпретируется следующим образом: если совершить бесконечно большое количество бросков, в среднем из 100 из них 50 завершатся орлом.

Пример 2

В коробке 3 синих шарика, 2 красных шарика и 1 зеленый. Какова теоретическая вероятность того, что когда вы достанете шарик из коробки, он станет красным?

Рисунок 2. Вероятность добычи цветных шариков. Источник: Ф. Сапата.

Вероятность того, что он станет красным, равна:

P (красный) = количество благоприятных случаев / количество возможных случаев

То есть:

P (красный) = Количество красных шариков / Общее количество шариков

Наконец, вероятность того, что выпадет красный шарик, равна:

P (красный) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Пока вероятность того, что при рисовании зеленого шарика составляет:

P (зеленый) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Наконец, теоретическая вероятность получения голубого шарика при слепой добыче составляет:

P (синий) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

То есть для каждых 2 попыток результат будет синим в одной из них и другим цветом в другой попытке, при условии, что извлеченный шарик заменяется и что количество попыток очень, очень велико.

упражнения

Упражнение 1

Определите вероятность того, что при бросании кубика значение меньше или равно 4.

Решение

Для расчета вероятности наступления этого события будет применяться определение теоретической вероятности:

P (≤4) = Количество благоприятных случаев / Количество возможных случаев

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Упражнение 2.

Найдите вероятность того, что при двух последовательных бросках обычного шестигранного кубика 5 выпадет 2 раза.

Решение

Чтобы ответить на это упражнение, составьте таблицу, в которой будут показаны все возможности. Первая цифра указывает результат первого кубика, а вторая - результат другого.

Для расчета теоретической вероятности нам необходимо знать общее количество возможных случаев, в этом случае, как видно из предыдущей таблицы, существует 36 вариантов.

Также, наблюдая за таблицей, можно сделать вывод, что количество случаев, благоприятных для события, которое из двух последовательных запусков выходит 5, равно только 1, выделенному цветом, поэтому вероятность того, что это событие произойдет, составляет:

П (5 х 5) = 1/36.

Этот результат также мог быть достигнут с использованием одного из свойств теоретической вероятности, согласно которому объединенная вероятность двух независимых событий является произведением их индивидуальных вероятностей.

В этом случае вероятность того, что при первом броске выпадет 5, равна. Второй бросок полностью не зависит от первого, поэтому вероятность того, что во втором броске выпадет 5, также равна. Таким образом, совокупная вероятность равна:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Упражнение 3.

Найдите вероятность того, что при первом броске выпадет число меньше 2, а во втором - число больше 2.

Решение

Опять же, необходимо составить таблицу возможных событий, в которой те, в которых первый бросок был меньше 2, а во втором больше 2, подчеркнуты.

Всего существует 4 возможности из 36. То есть вероятность этого события:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Используя теорему вероятности, которая гласит:

Такой же результат получается:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Значение, полученное с помощью этой процедуры, совпадает с предыдущим результатом с помощью теоретического или классического определения вероятности.

Упражнение 4.

Какова вероятность того, что при броске двух кубиков сумма значений равна 7.

Решение

Чтобы найти решение в этом случае, составлена ​​таблица возможностей, в которой случаи, удовлетворяющие условию, что сумма значений равна 7, обозначены цветом.

Глядя на таблицу, можно насчитать 6 возможных случаев, поэтому вероятность равна:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Ссылки

1. Канавос, Г. 1988. Вероятность и статистика: приложения и методы. Макгроу Хилл.
2. Деворе, Дж. 2012. Вероятность и статистика для техники и науки. 8-е. Издание. Cengage.
3. Липшуц, С. 1991. Серия Шаум: Вероятность. Макгроу Хилл.
4. Обрегон, I. 1989. Теория вероятностей. От редакции Лимуса.
5. Уолпол, Р. 2007. Вероятность и статистика для инженерии и науки. Пирсон.