ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЯ: ФОРМУЛЫ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, УПРАЖНЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - ДУДАС - 2026

Перестановки без повторений из п элементов различных групп различных элементов , которые могут быть получены из не повторять какой - либо элемент, только изменяя порядок расположения элементов.

Чтобы узнать количество перестановок без повторения, используется следующая формула:

Pn = n!

В развернутом виде Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Итак, в предыдущем практическом примере это будет применяться следующим образом:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различных 4-значных числа.

Всего это 24 массива: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Как видно, повторения нет ни в коем случае, это 24 разных числа.

Демо и формулы

24 компоновки 4 разных фигур

Мы собираемся более конкретно проанализировать пример 24 различных 4-значных комбинаций, которые могут быть образованы цифрами числа 2468. Количество комбинаций (24) может быть известно следующим образом:

У вас есть 4 варианта выбора первой цифры, остается 3 варианта выбора второй. Две цифры уже установлены, осталось 2 варианта выбора третьей цифры. Последняя цифра имеет только одну возможность выбора.

Следовательно, количество перестановок, обозначенное P4, получается как произведение вариантов выбора в каждой позиции:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различных 4-значных числа

В общем, количество различных перестановок или расстановок, которые могут быть выполнены со всеми n элементами данного набора, равно:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Выражение n! он известен как факториал n и означает произведение всех натуральных чисел, лежащих между числом n и числом один, включая оба.

12 компоновок 2 разных фигур

Теперь предположим, что вы хотите узнать количество перестановок или двузначных чисел, которые могут быть образованы цифрами числа 2468.

Всего будет 12 аранжировок: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86.

У вас есть 4 варианта выбора первой цифры, после чего остается 3 цифры для выбора второй. Следовательно, количество перестановок 4 цифр, взятых два на два, обозначенное 4P2, получается как произведение вариантов выбора в каждой позиции:

4P2 = 4 * 3 = 12 различных 2-значных чисел

В общем, количество различных перестановок или компоновок, которые могут быть выполнены с r элементами из n всего в данном наборе, равно:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Вышеупомянутое выражение обрезается перед воспроизведением n!. Доделать! оттуда мы должны написать:

п! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Факторы, которые мы добавляем, в свою очередь, представляют собой факториал:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Таким образом,

п! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Отсюда

п! / (п - г)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Примеры

Пример 1

Сколько различных 5-буквенных комбинаций букв можно составить из букв слова KEY?

Мы хотим найти количество различных комбинаций букв из 5 букв, которые могут быть построены из 5 букв слова KEY; то есть количество 5-буквенных массивов, включающих все буквы, имеющиеся в слове KEY.

Количество слов из 5 букв = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 различных 5-буквенных комбинаций.

Это могут быть: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… всего до 120 различных комбинаций букв.

Пример 2

У вас есть 15 пронумерованных шаров, и вы хотите знать, сколько различных групп из 3 шаров можно построить из 15 пронумерованных шаров?

Вы хотите найти количество групп из 3 шаров, которые можно составить из 15 пронумерованных шаров.

Кол-во групп из 3 мячей = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Количество групп по 3 шара = 15 * 14 * 13 = 2730 групп по 3 шара

Решенные упражнения

Упражнение 1

У фруктового магазина есть выставочный стенд, состоящий из ряда купе, расположенных в холле помещения. За один день овощной торговец приобретает на продажу: апельсины, бананы, ананасы, груши и яблоки.

а) Сколько у вас есть способов заказать выставочный стенд?

б) Сколько разных способов заказать стенд, если помимо упомянутых фруктов (5) вы получили в этот день: манго, персики, клубнику и виноград (4)?

а) Мы хотим найти количество различных способов упорядочить все фрукты в строке отображения; то есть количество аранжировок из 5 наименований фруктов, включающих все фрукты, доступные для продажи в этот день.

Кол-во стендов = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расстановок стенда = 120 способов презентации стенда

б) Мы хотим найти количество различных способов упорядочить все фрукты в строке отображения, если было добавлено 4 дополнительных элемента; то есть количество аранжировок из 9 наименований фруктов, включающих все фрукты, доступные для продажи в этот день.

Кол-во стендов = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расстановок стенда = 362 880 способов представить стенд

Упражнение 2.

Небольшой продуктовый магазин имеет участок земли, на котором достаточно места для парковки 6 автомобилей.

а) Сколько различных способов заказа автомобилей на земельном участке можно выбрать?

б) Предположим, что приобретен прилегающий земельный участок, размеры которого позволяют припарковать 10 автомобилей.Сколько различных форм расположения транспортных средств можно выбрать сейчас?

а) Мы хотим найти количество различных способов заказа 6 автомобилей, которые могут быть размещены на земельном участке.

Количество расстановок из 6 машин = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расстановок 6 машин = 720 различных способов заказа 6 машин на земельном участке.

б) Мы хотим найти количество различных способов заказа 10 автомобилей, которые могут быть размещены на земельном участке после расширения земельного участка.

Количество расположений 10 автомобилей = P10 = 10!

Количество расстановок транспортных средств = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расстановок 10 машин = 3 628 800 различных способов заказа 10 машин на земельном участке.

Упражнение 3.

У флориста есть цветы 6 разных цветов, чтобы сделать цветочные флаги стран, которые имеют только 3 цвета. Если известно, что порядок цветов важен во флагах,

а) Сколько разных флагов трех цветов можно сделать из шести доступных цветов?

б) Продавец покупает цветы 2 дополнительных цветов к 6, которые у него уже были, теперь сколько разных флагов 3 цветов можно сделать?

в) Поскольку у вас 8 цветов, вы решили расширить свой ассортимент флажков Сколько разных 4-цветных флажков вы можете сделать?

г) Сколько из 2 цветов?

а) Мы хотим найти количество различных флагов трех цветов, которые можно сделать, выбрав один из шести доступных цветов.

Кол-во трехцветных флагов = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Кол-во трехцветных флагов = 6 * 5 * 4 = 120 флагов

б) Вы хотите найти количество различных флагов трех цветов, которые можно сделать, выбрав из 8 доступных цветов.

Кол-во трехцветных флагов = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Количество трехцветных флагов = 8 * 7 * 6 = 336 флагов

c) Количество различных 4-цветных флажков, которые могут быть изготовлены путем выбора из 8 доступных цветов, должно быть рассчитано.

Количество 4-цветных флажков = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Количество 4-цветных флагов = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 флагов

г) Вы хотите определить количество различных двухцветных флажков, которые можно сделать, выбрав из 8 доступных цветов.

Кол-во двухцветных флагов = 8P2 = 8! / (8-2)!

Количество двухцветных флагов = 8 * 7 = 56 флагов

Ссылки

1. Боада, А. (2017). Использование перестановки с повторением как обучение эксперименту. Журнал Vivat Academia. Получено с сайта researchgate.net.
2. Канавос, Г. (1988). Вероятность и статистика. Приложения и методы. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Стекло, G .; Стэнли, Дж. (1996). Статистические методы не применяются в социальных науках. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Стивенс, Л. (2008). Статистика. Четвертое изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Уолпол, Р.; Майерс, Р.; Myers, S .; Е, Ка. (2007). Вероятность и статистика для инженеров и ученых. Восьмое изд. Международный Прентис Холл Pearson Education.
6. Вебстер А. (2000). Статистика применительно к бизнесу и экономике. Третье изд. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Перестановка. Восстановлено с en.wikipedia.org.