ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА: ОБЪЯСНЕНИЕ, УПРАЖНЕНИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

В Kepler «S законы планетарного движения были сделаны немецким астрономом Иоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер вывел их на основе работы своего учителя датского астронома Тихо Браге (1546–1601).

Браге тщательно собрал данные о движении планет за более чем 20 лет, с удивительной точностью и точностью, учитывая, что в то время телескоп еще не был изобретен. Действительность ваших данных остается в силе даже сегодня.

Рисунок 1. Орбиты планет по законам Кеплера. Источник: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

3 закона Кеплера

Законы Кеплера гласят:

-Первый закон : все планеты описывают эллиптические орбиты с Солнцем в одном из фокусов.

Это означает, что отношение T ² / r ³ одинаково для всех планет, что позволяет вычислить орбитальный радиус, если известен орбитальный период.

Когда T выражается в годах, а r - в астрономических единицах AU *, коэффициент пропорциональности k = 1:

* Астрономическая единица равна 150 миллионам километров, что является средним расстоянием между Землей и Солнцем. Период обращения Земли составляет 1 год.

Закон всемирного тяготения и третий закон Кеплера

Универсальный закон всемирного тяготения гласит, что величина гравитационной силы притяжения между двумя объектами масс M и m, соответственно, чьи центры разделены расстоянием r, определяется как:

G - универсальная гравитационная постоянная, и ее значение составляет G = 6,674 x 10 ^-11 Нм ² / кг ² .

Теперь орбиты планет имеют эллиптическую форму с очень маленьким эксцентриситетом.

Это означает, что орбита не очень далеко от окружности, за исключением некоторых случаев, таких как карликовая планета Плутон. Если мы приблизим орбиты к круглой форме, ускорение движения планеты составит:

Поскольку F = ma, имеем:

Здесь v - линейная скорость планеты вокруг Солнца, предполагаемая статической и имеющая массу M, а скорость планеты равна m. Так:

Это объясняет, что планеты, находящиеся дальше от Солнца, имеют меньшую орбитальную скорость, поскольку она зависит от 1 / √r.

Поскольку расстояние, которое проходит планета, приблизительно равно длине окружности: L = 2πr, и требуется время, равное T, орбитальному периоду, получаем:

Приравнивание обоих выражений для v дает правильное выражение для T ² , квадрата орбитального периода:

И это в точности третий закон Кеплера, поскольку в этом выражении скобка 4π ² / GM постоянна, следовательно, T ² пропорционально расстоянию r в кубе.

Окончательное уравнение для орбитального периода получается извлечением квадратного корня:

Рисунок 3. Афелий и перигелий. Источник: Wikimedia Commons. Пирсон Скотт Форесман / Общественное достояние

Поэтому мы заменяем r на a в третьем законе Кеплера, в результате чего для Галлея получается:

Решение б

а = ½ (перигелий + афелий)

эксперимент

Для анализа движения планет требуются недели, месяцы и даже годы тщательного наблюдения и записи. Но в лаборатории можно провести очень простой эксперимент в очень простом масштабе, чтобы доказать, что закон равных площадей Кеплера выполняется.

Для этого требуется физическая система, в которой сила, управляющая движением, является центральной, что является достаточным условием для выполнения закона площадей. Такая система состоит из массы, привязанной к длинной веревке, а другой конец нити прикреплен к опоре.

Масса сдвигается на небольшой угол от положения равновесия и получает легкий импульс, так что она совершает овальное (почти эллиптическое) движение в горизонтальной плоскости, как если бы это была планета вокруг Солнца.

На кривой, описываемой маятником, мы можем доказать, что он охватывает равные площади за равное время, если:

-Мы рассматриваем векторные радиусы, которые идут от центра притяжения (начальной точки равновесия) до положения массы.

-И мы перемещаемся между двумя последовательными моментами равной продолжительности в двух разных областях движения.

Чем длиннее струна маятника и чем меньше угол отклонения от вертикали, результирующая восстанавливающая сила будет более горизонтальной, и моделирование напоминает случай движения с центральной силой в плоскости.

Затем описанный овал приближается к эллипсу, подобному тому, по которому движутся планеты.

материалы

-Нерастяжимая нить

-1 масса или металлический шар, окрашенный в белый цвет, который действует как маятник

-Линейка

-Conveyor

-Фотографическая камера с автоматическим стробоскопическим диском

-Поддержка

-Два источника освещения

-Лист черной бумаги или картона

Обработать

Собрать фигуру нужно, чтобы сфотографировать несколько вспышек маятника, движущегося по своему пути. Для этого вам нужно поместить камеру чуть выше маятника и диск автоматического стробоскопа перед объективом.

Рисунок 4. Сборка маятника для проверки того, что он охватывает равные площади за равное время. Источник: Руководство лаборатории PSSC.

Таким образом, изображения получаются через равные промежутки времени маятника, например каждые 0,1 или 0,2 секунды, что позволяет узнать время, необходимое для перемещения от одной точки к другой.

Вы также должны правильно осветить массу маятника, разместив огни с обеих сторон. Чечевицу нужно покрасить в белый цвет, чтобы улучшить контраст на фоне, который состоит из черной бумаги, расстеленной на земле.

Теперь вы должны убедиться, что маятник проходит равные площади за равное время. Для этого выбирается временной интервал и на бумаге отмечаются точки, в которых маятник в этом интервале занимает.

На изображении проводится линия от центра овала к этим точкам, и, таким образом, у нас будет первая из областей, охваченных маятником, которая представляет собой примерно эллиптический сектор, подобный показанному ниже:

Рисунок 5. Площадь эллиптического сектора. Источник: Ф. Сапата.

Расчет площади эллиптического сечения

С помощью транспортира измеряются углы θ _o и θ ₁ , и эта формула используется для нахождения S, площади эллиптического сектора:

Если F (θ) определяется выражением:

Обратите внимание, что a и b - большая и малая полуоси соответственно. Читателю нужно только позаботиться о том, чтобы тщательно измерить полуоси и углы, поскольку в Интернете есть калькуляторы, чтобы легко вычислить это выражение.

Однако, если вы настаиваете на выполнении вычислений вручную, помните, что угол θ измеряется в градусах, но при вводе данных в калькулятор значения должны быть выражены в радианах.

Затем вы должны отметить другую пару точек, в которых маятник перевернул тот же временной интервал, и нарисовать соответствующую область, вычисляя ее значение с помощью той же процедуры.

Проверка закона равных площадей

Наконец, остается убедиться, что выполняется закон площадей, то есть равные площади очищаются за равное время.

Результаты немного отличаются от ожидаемых? Всегда помните, что все измерения сопровождаются соответствующей экспериментальной ошибкой.

Ссылки

1. Онлайн-калькулятор Кейсан. Калькулятор площади эллиптического сектора. Получено с: keisan.casio.com.
2. Openstax. Закон Кеплера о движении планет. Получено с: openstax.org.
3. ЧАО. Лаборатория физики. От редакции Reverté. Получено с: books.google.co.
4. Пален, С. 2002. Астрономия. Серия Шаум. Макгроу Хилл.
5. Перес Р. Простая система с центральной силой. Получено с: francesphysics.blogspot.com
6. Штерн, Д. Три закона движения планет Д. Кеплера. Получено с: phy6.org.