СЛУЧАЙНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ: КОНЦЕПЦИЯ, ПРОСТРАНСТВО ОБРАЗЦОВ, ПРИМЕРЫ - ДУДАС - 2026

Мы говорим о случайном эксперименте, когда результат каждого конкретного испытания непредсказуем, даже если вероятность наступления определенного результата может быть установлена.

Однако следует уточнить, что невозможно воспроизвести один и тот же результат случайной системы с одинаковыми параметрами и начальными условиями в каждом испытании эксперимента.

Рис. 1. Бросок кубиков - это случайный эксперимент. Источник: Pixabay.

Хорошим примером случайного эксперимента является бросание кости. Даже если кинуть кубик таким же образом, каждая попытка приведет к непредсказуемому результату. Собственно, единственное, что можно сказать, это то, что результат может быть одним из следующих: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Подбрасывание монеты - еще один пример случайного эксперимента с двумя возможными исходами: орлом или решкой. Хотя монета брошена с той же высоты и одинаковым образом, фактор шанса будет присутствовать всегда, что приведет к неопределенности с каждой новой попыткой.

Противоположность случайному эксперименту - детерминированный эксперимент. Например, известно, что каждый раз, когда вода кипятится на уровне моря, температура кипения составляет 100ºC. Но никогда не бывает, чтобы при тех же условиях результат был иногда 90 ºC, иногда 12 0 ºC, а иногда и 100 ºC.

Образец пространства

Набор всех возможных результатов случайного эксперимента называется пространством выборки. В произвольном эксперименте по прокатке матрицы размер образца равен:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

С другой стороны, при подбрасывании монеты пробел составляет:

M = {орла, решка}.

Событие или происшествие

В случайном эксперименте событие - это наступление или отсутствие определенного результата. Например, в случае подбрасывания монеты событие или случай состоит в том, что выпадает орел.

Другое событие случайного эксперимента может быть следующим: на кубике выбрасывается число, меньшее или равное трем.

В случае наступления события набор возможных результатов - это набор:

E = {1, 2, 3}

В свою очередь, это подмножество пробного пространства или набора:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, иллюстрирующих сказанное выше:

Пример 1

Предположим, одна за другой подбрасываются две монеты. Спрашивает:

а) Укажите, является ли это случайным экспериментом или, наоборот, детерминированным экспериментом.

б) Что такое пространство отсчетов S этого эксперимента?

c) Укажите набор событий A, соответствующий тому факту, что в результате эксперимента выпадет орел и решка.

г) Рассчитайте вероятность того, что событие А произойдет.

e) Наконец, найдите вероятность того, что произойдет событие B: в результате не появится орла.

Решение

В сумке 10 белых шариков и 10 черных шариков. Из мешочка наугад и не заглядывая внутрь последовательно извлекаются три шарика.

а) Определите пространство выборки для этого случайного эксперимента.

б) Определите набор результатов, соответствующий событию А, которое состоит в наличии двух черных шариков после эксперимента.

c) Событие B - получение как минимум двух черных шариков, определение набора B результатов для этого события.

г) Какова вероятность того, что событие А произойдет?

e) Найдите вероятность того, что произойдет событие B.

е) Определите вероятность того, что в результате случайного эксперимента у вас будет хотя бы один черный шарик. Это событие будет называться C.

Рисунок 2. Черно-белые шарики для случайных экспериментов. Источник: Needpix.

Решение для

Чтобы построить пространство выборки, полезно создать древовидную диаграмму, подобную той, которая показана на рисунке 3:

Рисунок 3. Древовидная диаграмма для примера 2. Подготовила Фанни Запата.

Множество Ω возможных результатов извлечения трех шариков из мешка с одинаковым количеством черных и белых шариков и есть пространство выборки этого случайного эксперимента.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Решение б

Набор возможных исходов, соответствующих событию A, которое состоит из двух черных шариков:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Решение c

Событие B определяется как «наличие как минимум двух черных шариков после случайного извлечения трех из них». Набор возможных результатов для события B:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Решение d

Вероятность наличия события A - это частное между количеством возможных исходов для этого события и общим количеством возможных исходов, то есть количеством элементов в пространстве выборки.

P (A) = n (A) / n (Ом) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Таким образом, вероятность получить два черных шарика после случайного извлечения трех шариков из мешка составляет 37,5%. Но учтите, что мы никак не можем предсказать точный результат эксперимента.

Решение e

Вероятность того, что произойдет событие B, состоящее в получении хотя бы одного черного шарика, равна:

P (B) = n (B) / n (Ом) = 4/8 = 0,5 = 50%

Это означает, что вероятность того, что событие B произойдет, равна вероятности того, что оно не произойдет.

Решение f

Вероятность получить хотя бы один черный шарик после вытягивания трех из них равна 1 минус вероятность того, что результатом будут «три белых шарика».

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Теперь мы можем проверить этот результат, отметив, что количество возможностей возникновения события C равно количеству элементов возможных результатов для события C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

п (С) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Ссылки

1. CanalPhi. Случайный эксперимент. Получено с: youtube.com.
2. MateMovil. Случайный эксперимент. Получено с: youtube.com
3. Пишро Ник Х. Введение в вероятность. Получено с: possiblecourse.com
4. Росс. Вероятность и статистика для инженеров. Мак-Гроу Хилл.
5. Wikipedia. Эксперимент (теория вероятностей). Получено с: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Детерминированное событие. Получено с: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Случайный эксперимент. Получено с: es.wikipedia.com