МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ: ФОРМУЛА, СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЕ - ДУДАС - 2026

Математическое ожидание или ожидаемое значение случайной величины X, обозначается как E (X) и определяется как сумма продукта между вероятности случайного события , происходящего и значение указанного события.

В математической форме это выражается следующим образом:

Рисунок 1. Математическое ожидание широко используется на фондовом рынке и в страховании. Источник: Pixabay.

Где x _i - это значение события, а P (x _i ) - его вероятность наступления. Суммирование распространяется на все значения, допускаемые X. И если они конечны, указанная сумма сходится к значению E (X), но если сумма не сходится, то переменная просто не имеет ожидаемого значения.

Когда это непрерывная переменная x, эта переменная может иметь бесконечные значения, а интегралы заменяют суммы:

Здесь f (x) представляет собой функцию плотности вероятности.

В общем, математическое ожидание (которое является средневзвешенным) не равно среднему арифметическому или среднему, если только мы не имеем дело с дискретными распределениями, в которых каждое событие равновероятно. Тогда и только тогда:

Где n - количество возможных значений.

Эта концепция очень полезна на финансовых рынках и в страховых компаниях, где часто нет определенности, но есть вероятность.

Свойства математического ожидания

Среди наиболее важных свойств математического ожидания выделяются следующие:

- Знак: если X положительный, то E (X) также будет положительным.

- Ожидаемое значение константы : ожидаемое значение действительной константы k является константой.

- Линейность в сумме: ожидание случайной величины, которая, в свою очередь, является суммой двух переменных X и Y, является суммой ожиданий.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Умножение на константу : если случайная величина имеет вид kX, где k - константа (действительное число), она выходит за пределы ожидаемого значения.

- Ожидаемая ценность продукта и независимость между переменными : если случайная величина является произведением случайных величин X и Y, которые являются независимыми, то ожидаемая ценность продукта является произведением ожидаемых значений.

В общем, если Y = g (X):

- Порядок в ожидаемом значении: если X ≤ Y, то:

Поскольку есть ожидаемые значения каждого из них.

Математическое ожидание в ставках

Когда знаменитый астроном Кристиан Гюйгенс (1629-1695) не наблюдал за небом, он посвятил себя изучению, среди других дисциплин, вероятности в азартных играх. Именно он ввел понятие математической надежды в своей работе 1656 года, озаглавленной «Рассуждения об азартных играх».

Рисунок 2. Христиан Гюйгенс (1629–1625) был блестящим и разносторонним ученым, которому мы обязаны концепцией ожидаемой стоимости.

Гюйгенс обнаружил, что ставки можно классифицировать тремя способами в зависимости от ожидаемой стоимости:

-Игры с преимуществом: E (X)> 0

- Справедливые ставки: E (X) = 0

-Игра в невыгодном положении: E (X) <0

Проблема в том, что в азартной игре не всегда легко вычислить математическое ожидание. А когда можно, результат иногда разочаровывает тех, кто задается вопросом, стоит ли делать ставки.

Давайте попробуем простую ставку: орел или решка, и проигравший платит кофе за 1 доллар. Какое ожидаемое значение этой ставки?

Что ж, вероятность выпадения орла ½, что равняется решке. Случайная величина должна получить 1 доллар или проиграть 1 доллар, выигрыш обозначается знаком +, а проигрыш - знаком -.

Организуем информацию в таблицу:

Умножаем значения столбцов: 1. ½ = ½ и (-1). ½ = -½ и, наконец, добавляются результаты. Сумма равна 0, и это честная игра, в которой участники не должны ни выиграть, ни проиграть.

Французская рулетка и лотерея - это игры с гандикапом, в которых большинство игроков проигрывают. Позже в разделе решенных упражнений будет немного более сложная ставка.

Примеры

Вот несколько простых примеров, в которых концепция математического ожидания интуитивно понятна и поясняет эту концепцию:

Пример 1

Мы начнем с броска честной кости. Какова ожидаемая стоимость запуска? Что ж, если кубик честный и имеет 6 решек, вероятность того, что выпадет любое значение (X = 1, 2, 3… 6), равна 1/6, например:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Рисунок 3. При броске честного кубика ожидаемое значение не является возможным значением. Источник: Pixabay.

Ожидаемое значение в этом случае равно среднему, так как каждое лицо имеет одинаковую вероятность выхода. Но E (X) не является возможным значением, поскольку ни один орел не стоит 3,5. Это вполне возможно в некоторых дистрибутивах, хотя в этом случае результат не сильно помогает игроку.

Давайте посмотрим на другой пример с подбрасыванием двух монет.

Пример 2

Две честные монеты подбрасываются в воздух, и мы определяем случайную величину X как количество выпавших голов. Могут произойти следующие события:

-Нет орлов: 0 орлов, что равняется 2 решкам.

-Он выходит 1 голова и 1 штамп или решка.

-Выступают два лица.

Пусть C - голова, а T - печать, примерное пространство, описывающее эти события, будет следующим:

S _m = {Seal-Seal; Уплотнительные лицо; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Вероятности наступления событий:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Таблица построена с полученными значениями:

Согласно определению, данному в начале, математическое ожидание рассчитывается как:

Подстановка значений:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Этот результат интерпретируется следующим образом: если у человека есть достаточно времени, чтобы провести большое количество экспериментов, подбрасывая две монеты, ожидается, что он будет получать голову при каждом подбрасывании.

Однако мы знаем, что выпуски с двумя лейблами вполне возможны.

Упражнение решено

При подбрасывании двух честных монет делается следующая ставка: если выпадет 2 орла, вы выиграете 3 доллара, если выпадет 1 решка, вы выиграете 1 доллар, а если выпадут две марки, вы должны заплатить 5 долларов. Рассчитайте ожидаемый выигрыш ставки.

Рисунок 4. В зависимости от ставки математическое ожидание меняется при подбрасывании двух честных монет. Источник: Pixabay.

Решение

Случайная величина X - это значения, которые принимают деньги в ставке, и вероятности были рассчитаны в предыдущем примере, поэтому таблица ставок:

Е (Х) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Поскольку математическое ожидание равно 0, это честная игра, поэтому ожидается, что игрок не выиграет и не проиграет. Однако суммы ставок могут быть изменены, чтобы сделать ставку игрой с гандикапом или игрой с гандикапом.

Ссылки

1. Brase, C. 2009. Понятная статистика. Хоутон Миффлин.
2. Ольмедо, Ф. Введение в понятие математического ожидания случайной величины. Получено с: personal.us.es.
3. Статистика LibreTexts. Ожидаемое значение дискретных случайных величин. Получено с: stats.libretexts.org.
4. Триола, М. 2010. Элементарная статистика. 11. Эд Эддисон Уэсли.
5. Уолпол, Р. 2007. Вероятность и статистика для науки и техники. Восьмой. Издание. Pearson Education.