Понятия домена и противоположной области функции обычно преподаются в курсах математического анализа, которые преподаются в начале университетской степени.
Прежде чем определять домен и контрадомен, вы должны знать, что такое функция. Функция f - это закон (правило) соответствия между элементами двух множеств.
Набор, из которого выбираются элементы, называется областью функции, а набор, в который эти элементы отправляются через f, называется контрдоменом.
В математике функция с областью определения A и областью счетчика B обозначается выражением f: A → B.
Предыдущее выражение говорит, что элементы множества A отправляются в набор B согласно закону соответствия f.
Функция назначает каждому элементу набора A единственный элемент набора B.
Домен и контрадомен
Учитывая реальную функцию действительной переменной f (x), мы имеем, что областью определения функции будут все те действительные числа, что при вычислении в f результатом будет действительное число.
Как правило, область счетчика функции - это набор действительных чисел R. Область счетчика также называется набором прибытия или областью области значений функции f.
Всегда ли контрдомен функции R?
Нет. До тех пор, пока функция не изучается подробно, набор действительных чисел R обычно берется в качестве счетчика.
Но как только функция будет изучена, более подходящий набор можно взять в качестве контрдомена, который будет подмножеством R.
Правильный набор, упомянутый в предыдущем абзаце, соответствует изображению функции.
Определение изображения или диапазона функции f относится ко всем значениям, полученным в результате оценки элемента домена в f.
Примеры
В следующих примерах показано, как вычислить область определения функции и ее изображения.
Пример 1
Пусть f - вещественная функция, заданная формулой f (x) = 2.
Область определения f - это все действительные числа, так что при вычислении в f результат является действительным числом. Контрадобласть на данный момент равна R.
Поскольку данная функция постоянна (всегда равна 2), не имеет значения, какое действительное число выбрано, поскольку при вычислении ее в f результат всегда будет равен 2, что является действительным числом.
Следовательно, область определения данной функции - все действительные числа; то есть A = R.
Теперь, когда известно, что результат функции всегда равен 2, мы имеем, что изображение функции - это только число 2, поэтому область счетчика функции может быть переопределена как B = Img (f) = {два}.
Следовательно, f: R → {2}.
Пример 2
Пусть g - вещественная функция, заданная формулой g (x) = √x.
Пока образ g неизвестен, противоположная область g - это B = R.
При использовании этой функции необходимо учитывать, что квадратные корни определены только для неотрицательных чисел; то есть для чисел больше или равных нулю. Например, √-1 не является действительным числом.
Следовательно, область определения функции g должна состоять из всех чисел, больших или равных нулю; то есть x ≥ 0.
Следовательно, A = [0, + ∞).
Чтобы вычислить диапазон, следует отметить, что любой результат g (x), поскольку это квадратный корень, всегда будет больше или равен нулю. То есть B = [0, + ∞).
В заключение, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).
Пример 3
Если у нас есть функция h (x) = 1 / (x-1), то эта функция не определена для x = 1, поскольку в знаменателе мы получим ноль, а деление на ноль не определено.
С другой стороны, для любого другого реального значения результатом будет действительное число. Следовательно, в домене все реалы, кроме одного; то есть A = R \ {1}.
Таким же образом можно заметить, что единственное значение, которое не может быть получено в результате, - это 0, поскольку для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю.
Следовательно, образ функции - это множество всех действительных чисел, кроме нуля, поэтому B = R \ {0} принимается как контрадобласть.
В заключение, h: R \ {1} → R \ {0}.
наблюдения
Домен и изображение не обязательно должны совпадать, как показано в примерах 1 и 3.
Когда функция изображается на декартовой плоскости, область представляется осью X, а контрдомен или диапазон - осью Y.
Ссылки
- Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Математика Precalculus: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Холл.
- Флеминг, В., и Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
- Ларсон, Р. (2010). Precalculus (8-е изд.). Cengage Learning.
- Леал, Дж. М., и Вилория, Н. Г. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: Редакция Венесолана CA
- Перес, CD (2006). Предвычисления. Pearson Education.
- Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Исчисление (Девятое изд.). Прентис Холл.
- Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление с ранними трансцендентными функциями для науки и техники (второе издание ред.). Гипотенузы.
- Скотт, Калифорния (2009). Декартова плоская геометрия, Часть: Аналитические коники (1907) (переиздание). Источник молнии.
- Салливан, М. (1997). Предвычисления. Pearson Education.