КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ: ФОРМУЛЫ, РАСЧЕТ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ПРИМЕРЫ - ДУДАС - 2026

Коэффициент детерминации представляет собой число в диапазоне от 0 до 1 , которое представляет собой часть точек (X, Y) , которые следуют за линией регрессии подгонки набора данных с двумя переменными.

Он также известен как степень соответствия и обозначается R ² . Для его вычисления берется частное между дисперсией данных Ŷi, оцененных с помощью регрессионной модели, и дисперсией данных Yi, соответствующих каждому Xi данных.

R ² = Sŷ / Sy

Рисунок 1. Коэффициент корреляции для четырех пар данных. Источник: Ф. Сапата.

Если 100% данных находятся на линии функции регрессии, то коэффициент детерминации будет равен 1.

Напротив, если для набора данных и некоторой функции настройки коэффициент R ² оказывается равным 0,5, то можно сказать, что настройка является удовлетворительной или хорошей на 50%.

Точно так же, когда регрессионная модель дает значения R ² ниже 0,5, это указывает на то, что выбранная функция настройки не адаптируется удовлетворительно к данным, поэтому необходимо искать другую функцию настройки.

И когда ковариация или коэффициент корреляции стремится к нулю, тогда переменные X и Y в данных не связаны, и, следовательно, R ² также будет стремиться к нулю.

Как рассчитать коэффициент детерминации?

В предыдущем разделе было сказано, что коэффициент детерминации рассчитывается путем нахождения частного между дисперсиями:

-Оценено функцией регрессии переменной Y

-То переменной Yi, соответствующей каждой переменной Xi из N пар данных.

С математической точки зрения это выглядит так:

R ² = Sŷ / Sy

Из этой формулы следует , что R ² представляет собой долю дисперсии объясняется регрессионной модели. В качестве альтернативы, R ² можно рассчитать по следующей формуле, полностью эквивалентной предыдущей:

R ² = 1 - (Sε / Sy)

Где Sε представляет собой дисперсию остатков εi = Ŷi - Yi, а Sy представляет собой дисперсию набора значений Yi данных. Для определения Ŷi применяется функция регрессии, что означает утверждение, что i = f (Xi).

Дисперсия набора данных Yi, где i от 1 до N, рассчитывается следующим образом:

Sy =

А затем поступаем аналогичным образом для Sŷ или Sε.

Иллюстративный случай

Чтобы показать подробности того, как производится расчет коэффициента детерминации, мы возьмем следующий набор из четырех пар данных:

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) и (4, 7)}.

Для этого набора данных предлагается линейная регрессия, полученная с помощью метода наименьших квадратов:

f (х) = 2,1 х - 1

Применяя эту функцию регулировки, крутящие моменты получаются:

(X, Ŷ): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) и (4, 7.4)}.

Затем мы вычисляем среднее арифметическое для X и Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Дисперсия Sy

Sy = / (4-1) =

= = 7 583

Дисперсия Sŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7,35

Коэффициент детерминации R ²

R ² = Sŷ / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97

интерпретация

Коэффициент детерминации для иллюстративного случая, рассмотренного в предыдущем сегменте, оказался равным 0,98. Другими словами, линейная регулировка через функцию:

f (x) = 2,1x - 1

Он на 98% надежен в объяснении данных, с которыми он был получен с помощью метода наименьших квадратов.

В дополнение к коэффициенту детерминации существует коэффициент линейной корреляции, также известный как коэффициент Пирсона. Этот коэффициент, обозначаемый как r, рассчитывается по следующей зависимости:

г = Sxy / (Sx Sy)

Здесь числитель представляет собой ковариацию между переменными X и Y, а знаменатель - это произведение стандартного отклонения для переменной X и стандартного отклонения для переменной Y.

Коэффициент Пирсона может принимать значения от -1 до +1. Когда этот коэффициент стремится к +1, существует прямая линейная корреляция между X и Y. Если вместо этого он стремится к -1, существует линейная корреляция, но когда X растет, Y уменьшается. Наконец, он близок к нулю, между двумя переменными нет корреляции.

Следует отметить, что коэффициент детерминации совпадает с квадратом коэффициента Пирсона только тогда, когда первый был рассчитан на основе линейной аппроксимации, но это равенство недействительно для других нелинейных аппроксимаций.

Примеры

- Пример 1

Группа старшеклассников задалась целью определить эмпирический закон для периода маятника в зависимости от его длины. Для достижения этой цели они проводят серию измерений, в ходе которых измеряют время колебания маятника на разной длине, получая следующие значения:

Длина (м)	Период (ы)
0,1	0.6
0,4	1,31
0.7	1,78
один	1,93
1,3	2,19
1,6	2,66
1,9	2,77
3	3,62

Требуется построить диаграмму рассеяния данных и выполнить линейную аппроксимацию через регрессию. Также покажите уравнение регрессии и его коэффициент детерминации.

Решение

Рисунок 2. График решения для упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.

Наблюдается довольно высокий коэффициент детерминации (95%), поэтому можно подумать, что линейная аппроксимация является оптимальной. Однако, если рассматривать точки вместе, кажется, что они имеют тенденцию изгибаться вниз. Эта деталь не рассматривается в линейной модели.

- Пример 2

Для тех же данных в Примере 1 создайте диаграмму рассеяния данных. В этом случае, в отличие от примера 1, требуется корректировка регрессии с использованием потенциальной функции.

Рисунок 3. График решения для упражнения 2. Источник: Ф. Сапата.

Также покажите функцию соответствия и ее коэффициент детерминации R ² .

Решение

Потенциальная функция имеет вид f (x) = Ax ^B , где A и B - константы, определяемые методом наименьших квадратов.

На предыдущем рисунке показана потенциальная функция и ее параметры, а также коэффициент детерминации с очень высоким значением 99%. Обратите внимание на то, что данные соответствуют кривизне линии тренда.

- Пример 3

Используя те же данные из Примера 1 и Примера 2, выполните подгонку полиномом второй степени. Покажите график, аппроксимирующий полином и соответствующий коэффициент детерминации R ² .

Решение

Рисунок 4. График решения для упражнения 3. Источник: Ф. Сапата.

С помощью полинома второй степени вы можете увидеть линию тренда, которая хорошо соответствует кривизне данных. Кроме того, коэффициент детерминации выше линейного соответствия и ниже потенциального соответствия.

Сравнение пригодности

Из трех показанных подгонок тот, у которого самый высокий коэффициент детерминации, является потенциальным подгонкой (пример 2).

Подгонка потенциала совпадает с физической теорией маятника, которая, как известно, устанавливает, что период маятника пропорционален квадратному корню из его длины, при этом коэффициент пропорциональности равен 2π / √g, где g - ускорение свободного падения.

Этот тип потенциального соответствия не только имеет самый высокий коэффициент детерминации, но и показатель степени и константа пропорциональности соответствуют физической модели.

Выводы

- Регулировка регрессии определяет параметры функции, которая направлена ​​на объяснение данных с использованием метода наименьших квадратов. Этот метод состоит в минимизации суммы квадратичной разницы между значением Y корректировки и значением Yi данных для значений Xi данных. Это определяет параметры функции настройки.

-Как мы видели, наиболее распространенной функцией настройки является линия, но она не единственная, поскольку настройки также могут быть полиномиальными, потенциальными, экспоненциальными, логарифмическими и другими.

-В любом случае коэффициент детерминации зависит от данных и типа корректировки и является показателем качества примененной корректировки.

- Наконец, коэффициент детерминации указывает процент общей изменчивости между значением Y данных по отношению к значению Ŷ корректировки для данного X.

Ссылки

1. Гонсалес К. Общая статистика. Получено с: tarwi.lamolina.edu.pe
2. МАКО. Арагонский институт медицинских наук. Получено с: ics-aragon.com
3. Салазар К. и Кастильо С. Основные принципы статистики. (2018). Получено с: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Коэффициент детерминации. Получено с: superprof.es
5. УСК. Руководство по описательной статистике. (2011). Получено с: statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Коэффициент детерминации. Получено с: es.wikipedia.com.