АКСИОМЫ ВЕРОЯТНОСТИ: ТИПЫ, ОБЪЯСНЕНИЕ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2026

В аксиомы вероятности математические предложения , относящиеся к теории вероятностей, которые не заслуживают доказательства. Эти аксиомы были установлены в 1933 году русским математиком Андреем Колмогоровым (1903–1987) в его «Основах теории вероятностей» и заложили основы математического исследования вероятностей.

При проведении некоторого случайного эксперимента ξ выборочное пространство E представляет собой совокупность всех возможных результатов эксперимента, также называемых событиями. Любое событие обозначается буквой A, а P (A) - вероятность его наступления. Затем Колмогоров установил, что:

Рисунок 1. Аксиомы вероятности позволяют нам вычислить вероятность попадания в азартные игры, такие как рулетка. Источник: Pixabay.

- Аксиома 1 (неотрицательность) : вероятность того, что любое событие A произойдет, всегда положительна или равна нулю, P (A) ≥0. Когда вероятность события равна 0, это называется невозможным событием.

- Аксиома 2 (достоверность) : всякий раз, когда какое-либо событие принадлежит E, его вероятность наступления равна 1, что мы можем выразить как P (E) = 1. Это называется определенным событием, поскольку при проведении эксперимента обязательно есть результат.

- Аксиома 3 (сложение) : в случае двух или более несовместимых событий два на два, называемых A ₁ , A ₂ , A ₃ …, вероятность того, что произойдет событие A ₁ плюс A ₂ плюс A ₃ и т. Д. последовательно, это сумма вероятностей каждого из событий в отдельности.

Это выражается как: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Рисунок 2. Замечательный русский математик Андрей Колмогоров (1903–1987), заложивший основы аксиоматической вероятности. Источник: Wikimedia Commons.

пример

Аксиомы вероятности широко используются во множестве приложений. Например:

В воздух подбрасывается кнопка или кнопка, и когда она падает на пол, есть возможность приземлиться острием вверх (U) или острием вниз (D) (другие возможности мы рассматривать не будем). Пространство выборки для этого эксперимента состоит из этих событий, тогда E = {U, D}.

Рис. 3. В эксперименте с галсом происходит два события с разной вероятностью: приземление острием вверх или по направлению к земле. Источник: Pixabay.

Применяя аксиомы, мы получаем:

Если вероятность приземления вверх или вниз одинакова, P (U) = P (D) = ½ (Аксиома 1). Однако конструкция и конструкция кнопки могут повысить вероятность ее падения тем или иным образом. Например, может быть, что P (U) = ¾, а P (D) = ¼ (аксиома 1).

Обратите внимание, что в обоих случаях сумма вероятностей дает 1. Однако аксиомы не указывают, как назначать вероятности, по крайней мере, не полностью. Но они утверждают, что это числа от 0 до 1 и что, как и в этом случае, сумма всех равна 1.

Способы присвоения вероятности

Аксиомы вероятности не являются методом присвоения значения вероятности. Для этого есть три варианта, совместимые с аксиомами:

Правило лапласа

Каждому событию присваивается одинаковая вероятность наступления, тогда вероятность наступления определяется как:

Например, какова вероятность вытащить туз из колоды французских карт? В колоде 52 карты, по 13 каждой масти и 4 масти. В каждой масти 1 туз, всего 4 туза:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Правило Лапласа ограничено конечными пространствами выборок, где каждое событие равновероятно.

Относительная частота

Здесь эксперимент должен быть повторяемым, поскольку метод основан на проведении большого количества повторений.

Сделаем i повторений эксперимента ξ, из которых мы находим, что n - это количество раз, когда происходит определенное событие A, тогда вероятность того, что это событие произойдет, равна:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Где n / i - относительная частота события.

Определение P (A) таким образом удовлетворяет аксиомам Колмогорова, но имеет недостаток, заключающийся в том, что для определения вероятности необходимо выполнить множество тестов.

Субъективный метод

Человек или группа людей могут согласиться приписать вероятность событию на основании своего собственного суждения. Этот метод имеет тот недостаток, что разные люди могут назначать разные вероятности одному и тому же событию.

Упражнение решено

В эксперименте с одновременным подбрасыванием 3 честных монет получите вероятности описанных событий:

а) 2 головы и хвост.

б) 1 голова и два решки

в) 3 креста.

г) Минимум 1 лицо.

Решение для

Орла обозначаются буквой C, а решки - X. Но есть несколько способов получить две решки и хвост. Например, первые две монеты могут выпадать орлом, а третья - решкой. Или у первого может упасть орел, у второго - решка, у третьего -. И, наконец, первыми могут быть решки, а остальные решки.

Чтобы ответить на вопросы, необходимо знать все возможности, которые описаны в инструменте, который называется древовидной диаграммой или деревом вероятностей:

Рисунок 4. Древовидная диаграмма одновременного подбрасывания трех честных монет. Источник: Ф. Сапата.

Вероятность того, что любая монета окажется орлом, равна ½, то же самое верно и для решки, поскольку монета честная. В правом столбце перечислены все возможности броска, то есть пробел.

Из области выборки выбираются комбинации, которые отвечают на запрошенное событие, поскольку порядок, в котором появляются лица, не важен. Есть три благоприятных события: CCX, CXC и XCC. Вероятность возникновения каждого события:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

То же самое происходит с событиями CXC и XCC, вероятность каждого из которых составляет 1/8. Следовательно, вероятность выпадения ровно двух орлов - это сумма вероятностей всех благоприятных событий:

P (двусторонний) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Решение б

Определение вероятности того, что произойдет ровно два скрещивания, является проблемой, аналогичной предыдущей, есть также три благоприятных события, взятых из пространства выборки: CXX, XCX и XXC. Таким образом:

П (2 крестика) = 3/8 = 0,375

Решение c

Интуитивно мы знаем, что вероятность получить 3 решки (или 3 решки) ниже. В этом случае искомым событием является XXX в конце правого столбца, вероятность которого равна:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Решение d

Требуется получить хотя бы 1 грань, это означает, что могут выйти 3 грани, 2 грани или 1 грань. Единственное несовместимое с ним событие - это то, в котором выпадают 3 решки, вероятность которого равна 0,125. Следовательно, искомая вероятность:

Р (минимум 1 голова) = 1 - 0,125 = 0,875.

Ссылки

1. Канавос, Г. 1988. Вероятность и статистика: приложения и методы. Макгроу Хилл.
2. Деворе, Дж. 2012. Вероятность и статистика для техники и науки. Восьмой. Издание. Cengage.
3. Липшуц, С. 1991. Серия Шаум: Вероятность. Макгроу Хилл.
4. Обрегон, I. 1989. Теория вероятностей. От редакции Лимуса.
5. Уолпол, Р. 2007. Вероятность и статистика для инженерии и науки. Пирсон.