ДУГА (ГЕОМЕТРИЯ): МЕРА, ВИДЫ АРОК, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

Дуги , в геометрии, любая изогнутая линия , которая соединяет две точки. Изогнутая линия, в отличие от прямой, - это линия, направление которой в каждой точке разное. Противоположностью дуги является отрезок, так как это прямой отрезок, соединяющий две точки.

Дуга, наиболее часто используемая в геометрии, - это дуга окружности. Другие широко используемые арки - это параболическая арка, эллиптическая арка и цепная арка. Форма арки также часто используется в архитектуре как декоративный элемент и конструктивный элемент. Это касается перемычек дверей и окон, а также мостов и акведуков.

Рис. 1. Радуга - это изогнутая линия, соединяющая две точки на горизонте. Источник: Pixabay

Арка и ее размер

Мерой дуги является ее длина, которая зависит от типа кривой, соединяющей две точки, и их местоположения.

Длину дуги окружности вычислить проще всего, поскольку длина всей дуги или периметр окружности известна.

Периметр круга равен радиусу, умноженному на два пи: p = 2 π R. Зная это, если мы хотим вычислить длину s дуги окружности с углом α (измеряется в радианах) и радиусом R, применяется пропорция:

(s / p) = (α / 2 π)

Затем, очищая s от предыдущего выражения и подставляя периметр p для его выражения как функции радиуса R, мы имеем:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

То есть мера дуги окружности равна произведению ее углового раскрытия на радиус дуги окружности.

Для арки в целом проблема сложнее, до такой степени, что великие мыслители древности утверждали, что это невыполнимая задача.

Лишь с появлением в 1665 году дифференциального и интегрального исчисления проблема измерения любой дуги была решена удовлетворительно.

До изобретения дифференциального исчисления решения можно было найти только с помощью ломаных линий или дуг окружности, которые приближались к истинной дуге, но эти решения не были точными.

Виды луков

С точки зрения геометрии дуги классифицируются в соответствии с кривой линией, соединяющей две точки на плоскости. Существуют и другие классификации в зависимости от использования и архитектурной формы.

Круговая дуга

Когда линия, соединяющая две точки на плоскости, представляет собой отрезок окружности определенного радиуса, мы получаем дугу окружности. На рис.2 изображена дуга окружности c радиуса R, соединяющая точки A и B.

Рис. 2. Дуга окружности радиуса R, соединяющая точки A и B. Разработана Рикардо Пересом.

Параболическая арка

Парабола - это путь, по которому следует объект, который подброшен в воздух под углом. Когда кривая, соединяющая две точки, представляет собой параболу, мы получаем параболическую дугу, подобную показанной на рисунке 3.

Рис. 3. Параболическая дуга, соединяющая точки A и B. Разработана Рикардо Пересом.

Это форма струи воды, которая выходит из шланга и направлена ​​вверх. В источниках воды можно наблюдать параболическую дугу.

Рисунок 4. Параболическая арка, образованная водой из фонтана в Дрездене. Источник: Pixabay.

Контактная арка

Контактная арка - еще одна естественная арка. Контактная линия - это кривая, которая образуется естественным образом, когда цепь или веревка свободно свисают с двух разных точек.

Рисунок 5. Контактная дуга и сравнение с параболической аркой. Подготовил Рикардо Перес.

Цепная линия похожа на параболу, но не совсем такая, как показано на рисунке 4.

Перевернутая цепная арка используется в архитектуре как конструктивный элемент с высокой прочностью на сжатие. Фактически, это самый прочный тип лука среди всех возможных форм.

Чтобы построить прочную цепную арку, просто скопируйте форму висящей веревки или цепи, а затем скопированную форму переворачивают, чтобы воспроизвести ее на дверной или оконной перемычке.

Эллиптическая арка

Дуга называется эллиптической, если кривая, соединяющая две точки, представляет собой кусок эллипса. Эллипс определяется как геометрическое место точек, расстояние которых до двух заданных точек всегда составляет постоянную величину.

Эллипс - это кривая, которая появляется в природе: это кривая траектории движения планет вокруг Солнца, как продемонстрировал Иоганн Кеплер в 1609 году.

На практике эллипс можно нарисовать, прикрепив к земле две стойки или две булавки на листе бумаги и привязав к ним веревку. Затем веревку натягивают маркером или карандашом и вычерчивают изгиб. Кусок эллипса - это дуга эллипса. Следующая анимация показывает, как нарисован эллипс:

Рисунок 5. Построение эллипса с помощью натянутой веревки. Источник: Wikimedia Commons

На рисунке 6 показана эллиптическая дуга, соединяющая точки G и H.

Рисунок 6. Эллиптическая арка, соединяющая две точки. Подготовил Рикардо Перес.

Примеры арок

Следующие примеры относятся к тому, как рассчитать периметр некоторых конкретных арок.

Пример 1

На рисунке 7 показано окно, законченное по дуге окружности. Размеры, показанные на рисунке, указаны в футах. Найдите длину дуги.

Рисунок 7. Расчет длины дуги окружности окна. (Собственные аннотации - изображение окна на Pixabay)

Для получения центра и радиуса дуги окружности оконной перемычки на изображении выполняются следующие построения:

-Отрезок KL нарисован и проведена его биссектриса.

-Затем находится наивысшая точка перемычки, которую мы называем М. Затем рассматривается сегмент КМ и рисуется его посредник.

Пересечение двух биссектрис - это точка N, которая также является центром дуги окружности.

-Теперь мы должны измерить длину отрезка НМ, который совпадает с радиусом R дуги окружности: R = 2,8 фута.

-Чтобы узнать длину дуги помимо радиуса, необходимо знать угол, который образует дуга. Что может быть определено двумя способами: либо измеряется транспортиром, либо рассчитывается с помощью тригонометрии.

В показанном случае угол, образованный дугой, равен 91,13 °, который необходимо преобразовать в радианы:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 радиана

Наконец, мы вычисляем длину дуги s по формуле s = α R.

s = 1,59 * 2,8 футов = 4,45 футов

Пример 2

Найдите длину эллиптической дуги, показанной на рисунке 8, зная большую полуось r и малую полуось s эллипса.

Рисунок 8. Эллиптическая арка между GH. Подготовил Рикардо Перес.

Определение длины эллипса долгое время было одной из самых сложных задач математики. Вы можете получить решения, выраженные эллиптическими интегралами, но чтобы получить числовое значение, вы должны разложить эти интегралы в степенные ряды. Для точного результата потребовалось бы бесконечное количество членов этих рядов.

К счастью, индуистский математический гений Рамануджан, живший между 1887 и 1920 годами, нашел формулу, которая очень точно аппроксимирует периметр эллипса:

Периметр эллипса с r = 3 см и s = 2,24 см составляет 16,55 см. Однако показанная эллиптическая дуга имеет половину этого значения:

Длина эллиптической арки GH = 8,28 см.

Ссылки

1. Клеменс С. 2008. Геометрия и тригонометрия. Pearson Education.
2. Гарсия Ф. Численные процедуры в Java. Длина эллипса. Получено с: sc.ehu.es
3. Динамическая геометрия. Луки. Получено с geometriadinamica.es
4. Piziadas. Вокруг нас эллипсы и параболы. Получено с: piziadas.com
5. Wikipedia. Арка (геометрия). Получено с: es.wikipedia.com