4 ФАКТОРИНГОВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ - МАТЕМАТИКА - 2026

Упражнения факторизация помогает понять эту технику, часто используются в математике и находится в процессе написания суммы в виде произведения некоторых терминов.

Слово факторизация относится к факторам, которые являются терминами, которые умножают другие термины. Например, при разложении натурального числа на простые множители используемые простые числа называются множителями.

То есть 14 можно записать как 2 * 7. В этом случае простые множители числа 14 равны 2 и 7. То же самое относится и к многочленам от действительных переменных.

То есть, если у вас есть многочлен P (x), то факторизация многочлена состоит из записи P (x) как произведения других многочленов степени меньше, чем степень P (x).

факторинг

Для факторизации многочлена используются различные методы, в том числе известные произведения и вычисление корней многочлена.

Если у нас есть многочлен второй степени P (x), а x1 и x2 - действительные корни P (x), то P (x) можно факторизовать как «a (x-x1) (x-x2)», где «а» - коэффициент, сопровождающий квадратичную степень.

Как рассчитываются корни?

Если полином степени 2, то корни можно вычислить по формуле, называемой «резольвентой».

Если полином имеет степень 3 или более, для вычисления корней обычно используется метод Руффини.

4 факторинговых упражнения

Первое упражнение

Разложите на множители следующий многочлен: P (x) = x²-1.

Решение

Не всегда нужно использовать резольвенту. В этом примере вы можете использовать замечательный продукт.

Переписывая многочлен следующим образом, мы можем увидеть, какой примечательный продукт использовать: P (x) = x² - 1².

Используя замечательное произведение 1, разность квадратов, мы получаем, что многочлен P (x) может быть разложен на множители следующим образом: P (x) = (x + 1) (x-1).

Это дополнительно указывает на то, что корни P (x) равны x1 = -1 и x2 = 1.

Второе упражнение

Разложим следующий многочлен на множители: Q (x) = x³ - 8.

Решение

Есть замечательный продукт, в котором говорится следующее: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Зная это, многочлен Q (x) можно переписать следующим образом: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Теперь, используя описанное замечательное произведение, мы получаем, что факторизация многочлена Q (x) равна Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2х + 4).

Квадратичный многочлен, возникший на предыдущем шаге, остается факторизовать. Но если вы посмотрите на него, замечательный продукт №2 может помочь; следовательно, окончательная факторизация Q (x) дается выражением Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Это означает, что один корень Q (x) равен x1 = 2, а x2 = x3 = 2 - другой корень Q (x), который повторяется.

Третье упражнение

Множитель R (x) = x² - x - 6.

Решение

Когда замечательный продукт не может быть обнаружен или необходимый опыт для манипулирования выражением недоступен, мы переходим к использованию резольвенты. Значения следующие: a = 1, b = -1 и c = -6.

Подстановка их в формулу дает x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/два.

Отсюда есть два следующих решения:

х1 = (-1 + 5) / 2 = 2

х2 = (-1-5) / 2 = -3.

Следовательно, полином R (x) можно разложить на множители как R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Четвертое упражнение

Множитель H (x) = x³ - x² - 2x.

Решение

В этом упражнении мы можем начать с определения общего множителя x и получить, что H (x) = x (x²-x-2).

Следовательно, остается только разложить квадратный многочлен на множители. Снова используя резольвенту, мы получаем, что корни:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Следовательно, корни квадратичного многочлена x1 = 1 и x2 = -2.

В заключение, факторизация полинома H (x) дается выражением H (x) = x (x-1) (x + 2).

Ссылки

1. 1. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
   2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
   3. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
   4. Хименес, Дж., Рофригес, М., и Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
   5. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
   6. Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
   7. Салливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.