ВЕКТОР: ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА, ЭЛЕМЕНТЫ, ТИПЫ, ПРИМЕРЫ - НАУКА - 2025

Эти векторы представляют собой математические объекты , которые , в общем , сопровождаемые по величине и направлению единица измерения -positiva- хорошо. Такие характеристики очень подходят для описания физических величин, таких как скорость, сила, ускорение и многие другие.

С векторами можно выполнять такие операции, как сложение, вычитание и произведения. Для векторов деление не определено, и что касается произведения, существует три класса, которые мы опишем позже: скалярное произведение или точка, векторное произведение или крест и произведение скаляра на вектор.

Рисунок 1. Элементы вектора. Источник: Wikimedia Commons.

Чтобы полностью описать вектор, необходимо указать все его характеристики. Величина или модуль - это числовое значение, сопровождаемое единицей, в то время как направление и смысл устанавливаются с помощью системы координат.

Давайте рассмотрим пример: предположим, что самолет летит из одного города в другой со скоростью 850 км / ч в северо-восточном направлении. Здесь у нас есть полностью определенный вектор, так как величина доступна: 850 км / ч, а направление и смысл - северо-восточный.

Векторы обычно представлены графически в виде ориентированных отрезков линии, длина которых пропорциональна величине.

В то время как для указания направления и направления требуется контрольная линия, которая обычно является горизонтальной осью, хотя север также может быть взят за точку отсчета, например, в случае скорости самолета:

Рисунок 2. Вектор скорости. Источник: Ф. Сапата.

На рисунке показана вектор скорости самолета, обозначенный как V в жирном шрифте , чтобы отличить его от скалярной величины, которая требует только числовое значения , и некоторых единиц должны быть указано.

Элементы вектора

Как мы уже говорили, элементами вектора являются:

-Величина или модуль, иногда также называемый абсолютным значением или нормой вектора.

-Адрес

-Смысл

В примере на рисунке 2 модуль v составляет 850 км / ч. Модуль обозначается как v без жирного шрифта или как - v -, где полосы представляют абсолютное значение.

Направление v указано относительно севера. В данном случае это 45º к северу от востока (45º NE). Наконец, острие стрелки сообщает о смысле ст .

В этом примере начало вектора нарисовано совпадающим с началом O системы координат, это известно как связанный вектор. С другой стороны, если начало вектора не совпадает с началом отсчета системы отсчета, говорят, что это свободный вектор.

Следует отметить, что для полного задания вектора эти три элемента должны быть отмечены, иначе описание вектора будет неполным.

Прямоугольные компоненты вектора

Рис. 3. Прямоугольные компоненты вектора на плоскости. Источник: Wikimedia Commons. Урантер

На изображении мы видим вектор v нашего примера , который находится в плоскости xy.

Легко видеть, что проекции v на оси координат x и y определяют прямоугольный треугольник. Эти проекции представляют собой v _{y и} v _x и называются прямоугольными компонентами v .

Один из способов обозначения v его прямоугольными компонентами выглядит так: v =x, v _и >. Эти скобки используются вместо скобок, чтобы подчеркнуть тот факт, что это вектор, а не точка, так как в этом случае будут использоваться скобки.

Если вектор находится в трехмерном пространстве, необходим еще один компонент, чтобы:

v =х, v _y , v _z >

Зная прямоугольные компоненты величина вектора рассчитывается, что эквивалентно нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника, ноги V _х и V _{и ,.} С помощью теоремы Пифагора следует, что:

Полярная форма вектора

Когда величина вектора - V - и угол θ , что он образует с осью отсчета, в целом горизонтальной оси, известны, также определен вектор. В таком случае говорят, что вектор выражен в полярной форме.

Прямоугольные составляющие в этом случае легко рассчитываются:

Согласно вышесказанному, прямоугольные компоненты вектора скорости v плоскости будут:

Типы

Есть несколько типов векторов. Есть векторы скорости, положения, смещения, силы, электрического поля, импульса и многое другое. Как мы уже говорили, в физике существует большое количество векторных величин.

Что касается векторов, обладающих определенными характеристиками, можно отметить следующие типы векторов:

-Нулевой : это векторы, величина которых равна 0 и обозначается как 0. Помните, что жирная буква символизирует три основные характеристики вектора, а обычная буква представляет только модуль.

Например, на теле в статическом равновесии сумма сил должна быть нулевым вектором.

- Свободные и связанные : свободные векторы - это те, исходная и конечная точки которых являются любой парой точек на плоскости или пространстве, в отличие от связанных векторов, начало которых совпадает с началом системы отсчета, используемой для их описания.

Пара или момент, создаваемый парой сил, является хорошим примером свободного вектора, поскольку пара не применяется к какой-либо конкретной точке.

- Equipolentes : это два свободных вектора с одинаковыми характеристиками. Следовательно, они имеют одинаковую величину, направление и смысл.

- Копланарность или компланарность : векторы, принадлежащие одной плоскости.

- Противоположности : векторы одинаковой величины и направления, но противоположные направления. Вектор напротив вектора v - это вектор - v, а их сумма - нулевой вектор: v + (- v ) = 0 .

- Параллельные : векторы, линии действия которых проходят через одну и ту же точку.

- Ползунки : это те векторы, точка приложения которых может скользить по определенной линии.

- Коллинеарность : векторы, расположенные на одной линии.

- Унитарность : те векторы, модуль которых равен 1.

Ортогональные единичные векторы

В физике есть очень полезный тип вектора, называемый ортогональным единичным вектором. Ортогональный единичный вектор имеет модуль, равный 1, и единицы могут быть любыми, например скоростью, положением, силой или другими.

Существует набор специальных векторов, которые помогают легко представлять другие векторы и выполнять с ними операции: это ортогональные единичные векторы i , j и k , единичные и перпендикулярные друг другу.

В двух измерениях эти векторы направлены вдоль положительного направления как оси x, так и оси y. А в трех измерениях единичный вектор добавляется в направлении положительной оси z. Они представлены следующим образом:

я = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

к = <0,0,1>

Вектор может быть представлен единичными векторами i , j и k следующим образом:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Например, вектор скорости v в предыдущих примерах можно записать как:

v = 601,04 i + 601,04 j км / ч

Компонента в k не требуется, так как этот вектор находится в плоскости.

Сложение вектора

Сумма векторов появляется очень часто в различных ситуациях, например, когда вы хотите найти равнодействующую силу на объекте, на который действуют различные силы. Для начала предположим, что у нас есть два свободных вектора u и v на плоскости, как показано на следующем рисунке слева:

Рисунок 4. Графическая сумма двух векторов. Источник: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Он немедленно аккуратно переносится на вектор v , не меняя его величины, направления или смысла, так что его начало совпадает с концом u .

Векторная сумма называется w и рисуется, начиная с u, заканчивая v , как показано на правом рисунке. Важно отметить, что величина вектора w не обязательно является суммой величин v и u .

Если подумать, то единственный раз, когда величина результирующего вектора является суммой величин слагаемых, - это когда оба слагаемых находятся в одном направлении и имеют одинаковый смысл.

А что будет, если векторы не свободны? Их также очень легко добавить. Способ сделать это - добавить компонент к компоненту или аналитическим методом.

В качестве примера давайте рассмотрим векторы на следующем рисунке. Прежде всего, необходимо выразить их одним из ранее объясненных декартовых способов:

Рисунок 5. Сумма двух связанных векторов. Источник: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

и = <2,3>

Чтобы получить x-компонент вектора суммы w , сложите соответствующие x-компоненты v и u : w _x = 5 + 2 = 7. А для получения w _y следует аналогичная процедура: w _y = 1 + 3. Таким образом:

u = <7,4>

Свойства векторного сложения

-Сумма двух или более векторов дает другой вектор.

-Он коммутативен, порядок добавлений не меняет сумму таким образом, что:

и + v = v + u

- Нейтральный элемент суммы векторов - нулевой вектор: v + 0 = v

- Вычитание двух векторов определяется как сумма противоположного: v - u = v + (-u)

Примеры векторных изображений

Как мы уже говорили, в физике существует множество векторных величин. Среди наиболее известных:

-Позиция

-Смещение

-Средняя скорость и мгновенная скорость

-Ускорение

-Сила

-Количество движения

-Момент или момент силы

-Импульс

-Электрическое поле

-Магнитное поле

-Магнитный момент

С другой стороны, это не векторы, а скаляры:

-Погода

-Масса

-Температура

-Объем

-Плотность

-Механические работы

-Энергия

-Горячий

-Мощность

-Напряжение

-Электрический ток

Другие операции между векторами

Помимо сложения и вычитания векторов, есть еще три очень важных операции между векторами, поскольку они порождают новые очень важные физические величины:

-Произведение скаляра на вектор.

-Талярное произведение или скалярное произведение между векторами

-И перекрестное или векторное произведение между двумя векторами.

Произведение скаляра и вектора

Рассмотрим второй закон Ньютона, который гласит, что сила F и ускорение a пропорциональны. Константа пропорциональности - это масса объекта m, поэтому:

F = м. к

Масса - скаляр; со своей стороны, сила и ускорение являются векторами. Поскольку сила получается путем умножения массы на ускорение, она является результатом произведения скаляра и вектора.

Этот тип продукта всегда приводит к вектору. Вот еще один пример: количество движений. Пусть P - вектор импульса, v - вектор скорости и, как всегда, m - масса:

P = м. v

Точечный продукт или скалярный продукт между векторами

Мы поместили механическую работу в список величин, не являющихся векторами. Однако работа в области физики является результатом операции между векторами, называемой скалярным произведением, внутренним произведением или скалярным произведением.

Пусть векторы v и u определяют точечное или скалярное произведение между ними как:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Где θ - угол между ними. Из показанного уравнения сразу следует, что результатом скалярного произведения является скаляр, а также что, если оба вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0.

Возвращаясь к механической работе W, это скалярное произведение между вектором силы F и вектором смещения ℓ .

Когда векторы доступны с точки зрения их компонентов, скалярное произведение также очень легко вычислить. Если v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, скалярное произведение между ними:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Скалярное произведение между векторами коммутативно, поэтому:

v ∙ u = u ∙ v

Перекрестное произведение или векторное произведение между векторами

Если v и u - два наших примера векторов, мы определяем векторное произведение как:

v x u = w

Отсюда сразу следует, что в результате перекрестного произведения получается вектор, модуль которого определяется как:

Где θ - угол между векторами.

Перекрестное произведение не коммутативно, поэтому v x u ≠ u x v. Фактически v x u = - (u x v).

Если два примера вектора выражены в единицах единичных векторов, вычисление векторного произведения упрощается:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Перекрестные произведения между единичными векторами

Перекрестное произведение между идентичными единичными векторами равно нулю, поскольку угол между ними равен 0º. Но между разными единичными векторами угол между ними равен 90º, а sin 90º = 1.

Следующая диаграмма помогает найти эти продукты. В направлении стрелки он имеет положительное направление, а в противоположном - отрицательное:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; я х к = -j

Применяя свойство распределенности, которое по-прежнему действует для произведений между векторами плюс свойства единичных векторов, мы имеем:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Учитывая векторы:

v = -5 я + 4 j + 1 к

u = 2 i -3 j + 7 к

Каким должен быть вектор w, чтобы сумма v + u + w была 6 i +8 j -10 k ?

Решение

Следовательно, должно выполняться, что:

Ответ: w = 9 i +7 j - 18 k.

- Упражнение 2.

Каков угол между векторами v и u в упражнении 1?

Решение

Мы будем использовать точечное произведение. Из определения имеем:

v ∙ u = -10-12 + 7 = -15

Подставляя эти значения:

Ссылки

1. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
2. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6-е. Эд Прентис Холл.
3. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон.
4. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. 14 числа. Ред. Том 1.
5. Сервей, Р., Джуэтт, Дж. 2008. Физика для науки и техники. Том 1. 7-е. Под ред. Cengage Learning.