БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА

Бином теорема является уравнением , которое говорит о том , как развивать выражение вида (а + б) ^п для некоторого натурального числа п. Бином - это не что иное, как сумма двух элементов, например (a + b). Это также позволяет нам узнать для члена, заданного a ^k b ^n-k, какой коэффициент его сопровождает.

Эту теорему обычно приписывают английскому изобретателю, физику и математику сэру Исааку Ньютону; Однако были найдены различные записи, свидетельствующие о том, что о его существовании уже было известно на Ближнем Востоке около 1000 года.

Комбинаторные числа

Математически биномиальная теорема сообщает нам следующее:

В этом выражении a и b - действительные числа, а n - натуральное число.

Прежде чем давать демонстрацию, давайте рассмотрим некоторые необходимые основные концепции.

Комбинаторное число или комбинации n в k выражаются следующим образом:

Эта форма выражает значение того, сколько подмножеств с k элементами можно выбрать из набора из n элементов. Его алгебраическое выражение дается следующим образом:

Давайте посмотрим на пример: предположим, что у нас есть группа из семи шаров, из которых два красные, а остальные синие.

Мы хотим знать, сколькими способами мы можем расположить их в ряд. Один из способов - разместить два красных шара в первой и второй позиции, а остальные шары - в оставшиеся позиции.

Как и в предыдущем случае, мы могли бы поставить красные шары на первую и последнюю позицию соответственно, а остальные занять синими шарами.

Теперь эффективный способ подсчитать, сколькими способами мы можем расположить шары в ряд - использовать комбинаторные числа. Мы можем рассматривать каждую позицию как элемент следующего набора:

Затем остается только выбрать подмножество из двух элементов, в котором каждый из этих элементов представляет позицию, которую будут занимать красные шары. Мы можем сделать этот выбор в соответствии с соотношением, определяемым:

Таким образом, у нас есть 21 способ заказать эти шары.

Общая идея этого примера будет очень полезна при доказательстве биномиальной теоремы. Давайте рассмотрим частный случай: если n = 4, у нас есть (a + b) ⁴ , что не более чем:

Когда мы разрабатываем этот продукт, у нас остается сумма членов, полученная путем умножения одного элемента каждого из четырех факторов (a + b). Таким образом, у нас будут термины, которые будут иметь вид:

Если мы хотим получить член в виде ⁴ , нам просто нужно умножить его следующим образом:

Обратите внимание, что есть только один способ получить этот элемент; но что произойдет, если мы теперь поищем член в форме a ² b ² ? Поскольку «a» и «b» являются действительными числами и, следовательно, действует закон коммутативности, у нас есть один способ получить этот член - умножить на члены, указанные стрелками.

Выполнение всех этих операций обычно несколько утомительно, но если мы рассматриваем термин «а» как комбинацию, в которой мы хотим знать, сколькими способами мы можем выбрать два «а» из набора из четырех факторов, мы можем использовать идею из предыдущего примера. Итак, имеем следующее:

Таким образом, мы знаем, что в окончательном разложении выражения (a + b) ⁴ у нас будет ровно 6a ² b ² . Используя ту же идею для других элементов, вы должны:

Затем мы складываем полученные ранее выражения и получаем следующее:

Это формальное доказательство для общего случая, когда «n» - любое натуральное число.

демонстрация

Обратите внимание, что члены, оставшиеся после раскрытия (a + b) ^n, имеют вид a ^k b ^n-k , где k = 0,1,…, n. Используя идею предыдущего примера, мы можем выбрать «k» переменных «a» из «n» факторов:

Выбирая таким образом, мы автоматически выбираем nk переменных «b». Из этого следует, что:

Примеры

Учитывая (a + b) ⁵ , каким было бы его развитие?

По биномиальной теореме имеем:

Биномиальная теорема очень полезна, если у нас есть выражение, в котором мы хотим знать, каков коэффициент конкретного члена, без необходимости выполнять полное раскрытие. В качестве примера мы можем взять следующее неизвестное: каков коэффициент при x ⁷ и ⁹ в разложении (x + y) ¹⁶ ?

По биномиальной теореме коэффициент равен:

Другой пример: каков коэффициент перед x ⁵ и ⁸ в разложении (3x-7y) ¹³ ?

Сначала перепишем выражение удобным образом; это:

Тогда, используя биномиальную теорему, мы получаем, что искомый коэффициент - это когда k = 5

Другой пример использования этой теоремы - доказательство некоторых общих тождеств, таких как те, которые мы упомянем далее.

Личность 1

Если «n» - натуральное число, имеем:

Для доказательства мы используем биномиальную теорему, где «a» и «b» принимают значение 1. Тогда имеем:

Таким образом мы доказали первую идентичность.

Идентичность 2

Если «n» - натуральное число, то

По биномиальной теореме имеем:

Еще одна демонстрация

Мы можем провести другое доказательство биномиальной теоремы, используя индуктивный метод и тождество Паскаля, которое говорит нам, что если «n» и «k» - натуральные числа, удовлетворяющие n ≥ k, то:

Доказательство индукции

Давайте сначала убедимся, что индуктивная база выполняется. Если n = 1, имеем:

Действительно, мы видим, что оно выполняется. Теперь пусть n = j такое, что:

Мы хотим увидеть, что для n = j + 1 верно, что:

Итак, мы должны:

По гипотезе мы знаем, что:

Затем, используя свойство распределения:

В дальнейшем, развивая каждое из суммирований, имеем:

Теперь, если мы сгруппируем удобным образом, мы получим следующее:

Используя идентичность паскаль, мы имеем:

Наконец, обратите внимание, что:

Следовательно, мы видим, что биномиальная теорема верна для всех «n», принадлежащих натуральным числам, и на этом доказательство заканчивается.

Любопытства

Комбинаторное число (nk) также называется биномиальным коэффициентом, потому что это именно тот коэффициент, который появляется в развертке бинома (a + b) ⁿ .

Исаак Ньютон дал обобщение этой теоремы на случай, когда показатель степени является действительным числом; Эта теорема известна как биномиальная теорема Ньютона.

Уже в древности этот результат был известен для частного случая, когда n = 2. Этот случай упоминается в «Элементах» Евклида.

Ссылки

Джонсонбо Ричард. Дискретная математика. PHH
Кеннет Х. Розен, Дискретная математика и ее приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Сеймур Липшуц доктор философии и Марк Липсон. Дискретная математика. МакГроу-Хилл.
Ральф П. Гримальди. Дискретная и комбинаторная математика. Эддисон-Уэсли Ибероамерикана
Зеленая звезда Луис. . Дискретная и комбинаторная математика Anthropos

БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025