ЧТО ТАКОЕ КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ? (С РЕШЕННЫМИ УПРАЖНЕНИЯМИ) - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Эти векторы планарных или в одной плоскости являются те , которые содержатся в одной и той же плоскости. Когда есть только два вектора, они всегда копланарны, поскольку существует бесконечное количество плоскостей, всегда можно выбрать тот, который их содержит.

Если у вас есть три или более вектора, возможно, некоторые из них не находятся в одной плоскости с другими, поэтому их нельзя считать копланарными. На следующем рисунке показан набор копланарных векторов, выделенных жирным шрифтом A , B , C и D :

Рисунок 1. Четыре компланарных вектора. Источник: самодельный.

Векторы связаны с поведением и свойствами физических величин, имеющими отношение к науке и технике; например скорость, ускорение и сила.

Сила оказывает различное воздействие на объект при изменении способа ее приложения, например, путем изменения интенсивности, направления и направления. Даже изменив хотя бы один из этих параметров, результаты будут существенно разными.

Во многих приложениях, как в статике, так и в динамике, силы, действующие на тело, находятся в одной плоскости, поэтому они считаются компланарными.

Условия компланарности векторов

Чтобы три вектора были компланарными, они должны лежать в одной плоскости, и это происходит, если они удовлетворяют любому из следующих условий:

-Вектора параллельны, поэтому их компоненты пропорциональны и линейно зависимы.

-Ваш смешанный продукт недействителен.

-Если у вас есть три вектора, и любой из них может быть записан как линейная комбинация двух других, эти векторы компланарны. Например, вектор, который получается из суммы двух других, все три находятся в одной плоскости.

В качестве альтернативы условие компланарности может быть установлено следующим образом:

Смешанный продукт между тремя векторами

Смешанное произведение между векторами определяется тремя векторами u , v и w, в результате получается скаляр, который получается в результате выполнения следующей операции:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Сначала выполняется перекрестное произведение, указанное в скобках: v x w , результатом которого является вектор нормали (перпендикулярный) плоскости, в которой лежат и v, и w .

Если u находится в той же плоскости, что и v и w , естественно, скалярное произведение (скалярное произведение) между u и указанным нормальным вектором должно быть 0. Таким образом проверяется, что три вектора компланарны (они лежат в одной плоскости).

Когда смешанное произведение не равно нулю, его результат равен объему параллелепипеда, у которого векторы u , v и w являются смежными сторонами.

Приложения

Копланарные, сопутствующие и неколлинеарные силы

Все совпадающие силы прилагаются к одной и той же точке. Если они также копланарны, их можно заменить одной, которая называется результирующей силой и имеет тот же эффект, что и исходные силы.

Если тело находится в равновесии благодаря трем компланарным силам, параллельным и неколлинеарным (не параллельным), называемым A , B и C, теорема Лами указывает, что соотношение между этими силами (величинами) следующее:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

С углами α, β и γ, противоположными приложенным силам, как показано на следующем рисунке:

Рис. 2. На объект действуют три компланарные силы A, B и C. Источник: Kiwakwok в английской Википедии.

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Найдите значение k так, чтобы следующие векторы были компланарными:

и = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

ш = <-1, 2, -1>

Решение

Поскольку у нас есть компоненты векторов, используется критерий смешанного произведения, поэтому:

и ( v x w ) = 0

Сначала решите v x w. Векторы будут выражены через единичные векторы i , j и k, которые различают три перпендикулярных направления в пространстве (ширина, высота и глубина):

v = 4 я + j + 0 к

ш = -1 я + 2 j -1 к

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 к

Теперь рассмотрим скалярное произведение между u и вектором, полученным в результате предыдущей операции, установив операцию равной 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4к = 0

Искомое значение: k = - 6

Итак, вектор u :

и = <-3, -6, 2>

-Упражнение 2.

На рисунке показан объект весом W = 600 Н, который находится в равновесии благодаря тросам, расположенным под углами, показанными на рисунке 3. Можно ли применить теорему Лами в этой ситуации? В любом случае найдите величины T ₁ , T ₂ и T _3, которые делают возможным равновесие.

Рис. 3. Груз висит в равновесии под действием трех показанных напряжений. Источник: самодельный.

Решение

Теорема Лами применима в этой ситуации, если рассматривается узел, к которому приложены три напряжения, поскольку они составляют систему компланарных сил. Сначала строится диаграмма свободного тела для подвешенного груза, чтобы определить величину T _3:

Рис. 4. Диаграмма свободного тела для подвешенного груза. Источник: самодельный.

Из условия равновесия следует, что:

Углы между силами обозначены красным на следующем рисунке, легко проверить, что их сумма равна 360º. Теперь можно применить теорему Лами, так как одна из сил и три угла между ними известны:

Рисунок 5.- Красным цветом обозначены углы для применения теоремы Лами. Источник: самодельный.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Следовательно: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Снова теорема Лами применяется для решения для T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

Т ₂ = Т ₁ = 498,5 Н

Ссылки

1. Фигероа, Д. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физический. Модуль 8: Векторы. Получено с: frtl.utn.edu.ar
3. Хиббелер, Р. 2006. Механика для инженеров. статический 6-е издание. Continental Publishing Company 28-66.
4. Маклин, W. Schaum Series. Механика для инженеров: статика и динамика. 3-е издание. Макгроу Хилл. 1-15.
5. Wikipedia. Вектор. Получено с: es.wikipedia.org.