ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕНЕНИЯ И ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2024

Политропы процесс является термодинамическим процессом , который происходит , когда зависимость между давлением Р и объемом V задается PV ^п поддерживается постоянной. Показатель n является действительным числом, обычно между нулем и бесконечностью, но в некоторых случаях может быть отрицательным.

Значение n называется индексом политропии, и важно отметить, что во время политропного термодинамического процесса указанный индекс должен поддерживать фиксированное значение, иначе процесс не будет считаться политропным.

Рисунок 1. Характеристическое уравнение политропного термодинамического процесса. Источник: Ф. Сапата.

Характеристики политропных процессов

Некоторые характерные случаи политропных процессов:

- Изотермический процесс (при постоянной температуре T), в котором показатель степени равен n = 1.

- Изобарический процесс (при постоянном давлении P), в этом случае n = 0.

- Изохорный процесс (при постоянном объеме V), для которого n = + ∞.

- Адиабатические процессы (при постоянной энтропии S), в которых показатель степени равен n = γ, где γ - адиабатическая постоянная. Эта постоянная представляет собой частное отношение теплоемкости при постоянном давлении Cp к теплоемкости при постоянном объеме Cv:

γ = Cp / Cv

- Любой другой термодинамический процесс, не входящий в один из предыдущих случаев. но это соответствует PV ⁿ = ctte с реальным и постоянным индексом политропы n, также будет политропным процессом.

Рис. 2. Различные характерные случаи политропных термодинамических процессов. Источник: Wikimedia Commons.

Приложения

Одним из основных приложений уравнения политропы является вычисление работы, совершаемой замкнутой термодинамической системой, когда она переходит из начального состояния в конечное состояние квазистатическим образом, то есть следуя последовательности состояний равновесия.

Работа над политропными процессами для разных значений n

Для n 1

Механическая работа W, совершаемая замкнутой термодинамической системой, рассчитывается по выражению:

W = ∫P.dV

Где P - давление, а V - объем.

Как и в случае политропного процесса, соотношение между давлением и объемом:

У нас есть механическая работа, совершаемая во время политропного процесса, который начинается в начальном состоянии 1 и заканчивается в конечном состоянии 2. Все это выражается в следующем выражении:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Подставляя значение константы в рабочее выражение, получаем:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

В случае, если рабочее тело можно смоделировать как идеальный газ, имеем следующее уравнение состояния:

PV = mRT

Где m - количество молей идеального газа, а R - универсальная газовая постоянная.

Для идеального газа, который следует политропному процессу с показателем политропии, отличным от единицы, и который переходит из состояния с начальной температурой T ₁ в другое состояние с температурой T ₂ , проделанная работа определяется следующей формулой:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

При n → ∞

Согласно формуле для работы, полученной в предыдущем разделе, мы имеем, что работа политропного процесса с n = ∞ равна нулю, потому что выражение работы делится на бесконечность и, следовательно, результат стремится к нулю. .

Другой способ получить этот результат - начать с соотношения P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , которое можно переписать следующим образом:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Взяв корень n-й степени в каждом члене, получим:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

В случае n → ∞ имеем (V ₂ / V1) = 1, что означает, что:

V ₂ = V ₁

То есть объем не изменяется в политропном процессе при n → ∞. Следовательно, перепад объема dV в интеграле механической работы равен 0. Этот тип политропных процессов также известен как изохорные процессы или процессы постоянного объема.

Для n = 1

Снова у нас есть выражение для работы:

W = ∫P dV

В случае политропного процесса с n = 1 соотношение между давлением и объемом:

PV = константа = C

Решив P из предыдущего выражения и сделав замену, мы добились перехода от начального состояния 1 к конечному состоянию 2:

То есть:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Поскольку начальное и конечное состояния хорошо определены, то и ctte. То есть:

С = П ₁ В ₁ = П ₂ В ₂

Наконец, у нас есть следующие полезные выражения для нахождения механической работы замкнутой политропной системы, в которой n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Если рабочее вещество состоит из m молей идеального газа, то можно применить уравнение состояния идеального газа: PV = mRT

В этом случае, поскольку PV ₁ = ctte, мы имеем, что политропный процесс с n = 1 является процессом при постоянной температуре T (изотермический), так что могут быть получены следующие выражения для работы:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Рис. 3. Плавящаяся сосулька, пример изотермического процесса. Источник: Pixabay.

Примеры политропных процессов

- Пример 1

Представьте цилиндр с подвижным поршнем, наполненный одним килограммом воздуха. Первоначально воздух занимает объем V ₁ = 0,2 м ³ при давлении P ₁ = 400 кПа. За политропным процессом следует n = γ = 1,4, конечное состояние которого имеет давление P ₂ = 100 кПа. Определите работу, проделанную воздухом над поршнем.

Решение

Когда индекс политропии равен постоянной адиабаты, происходит процесс, при котором рабочее вещество (воздух) не обменивается теплом с окружающей средой, а значит, и энтропия не меняется.

Для воздуха, двухатомного идеального газа, мы имеем:

γ = Cp / Cv, где Cp = (7/2) R и Cv = (5/2) R

Так:

γ = 7/5 = 1,4

Используя выражение политропного процесса, можно определить конечный объем воздуха:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 м ³ .

Теперь у нас есть условия для применения формулы работы, проделанной в политропном процессе для n 1, полученной выше:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Подставляя соответствующие значения, получаем:

W = (100 кПа 0,54 м ³ - 400 кПа 0,2 м ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 кДж

- Пример 2

Предположим, тот же цилиндр из примера 1 с подвижным поршнем, заполненным одним килограммом воздуха. Первоначально воздух занимает объем V1 = 0,2 м ³ при давлении P1 = 400 кПа. Но в отличие от предыдущего случая воздух изотермически расширяется до конечного давления P2 = 100 кПа. Определите работу, проделанную воздухом над поршнем.

Решение

Как было показано ранее, изотермические процессы являются политропными процессами с индексом n = 1, поэтому верно, что:

P1 V1 = P2 V2

Таким образом можно легко отделить окончательный объем и получить:

V2 = 0,8 м ³

Тогда, используя выражение работы, полученное ранее для случая n = 1, мы получаем, что работа, совершаемая воздухом над поршнем в этом процессе, равна:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Па × 0,2 м ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 кДж.

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Ценгель, Ю. 2012. Термодинамика. 7-е издание. Макгроу Хилл.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 4. Жидкости и термодинамика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Лопес, К. Первый закон термодинамики. Получено с: culturacientifica.com.
5. Найт, р. 2017. Физика для ученых и инженерии: стратегический подход. Пирсон.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Основы физики. 9-е изд. Cengage Learning.
7. Севильский университет. Тепловые машины. Получено с: laplace.us.es.
8. Википедия. Политропный процесс. Получено с: wikiwand.com.