МОМЕНТ ИНЕРЦИИ: ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения представляет его устойчивость к изменению его угловой скорости вокруг указанной оси. Он пропорционален массе, а также положению оси вращения, поскольку тело, в зависимости от его геометрии, может легче вращаться вокруг одних осей, чем других.

Представьте себе большой объект (состоящий из множества частиц), который может вращаться вокруг оси. Предположим, что действует сила F , приложенная по касательной к элементу массы Δm _i , которая создает крутящий момент или момент, заданный формулой τ _net = ∑ r _i x F _i . Вектор r _i - это положение Δm _i (см. Рисунок 2).

Рисунок 1. Моменты инерции различных фигур. Источник: Wikimedia Commons.

Этот момент перпендикулярен плоскости вращения (направление + k = выход из бумаги). Поскольку сила и вектор радиального положения всегда перпендикулярны, поперечное произведение остается:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Рис. 2. Частица, принадлежащая твердому телу во вращении. Источник: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Том 1. Cengage Learning.

Ускорение a _i представляет собой тангенциальную составляющую ускорения, поскольку радиальное ускорение не влияет на крутящий момент. В зависимости от углового ускорения α можно указать, что:

Следовательно, чистый крутящий момент выглядит так:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Угловое ускорение α одинаково для всего объекта, поэтому на него не влияет индекс «i», и оно может оставлять суммирование, которое является в точности моментом инерции объекта, обозначенного буквой I:

Это момент инерции дискретного распределения массы. Когда распределение является непрерывным, суммирование заменяется интегралом, и Δm становится разницей масс dm. Интеграл проводится по всему объекту:

Единицы измерения момента инерции в Международной системе СИ - кг x м ² . Это скалярная и положительная величина, так как это произведение массы на квадрат расстояния.

Примеры расчетов

Протяженный объект, такой как стержень, диск, сфера или другой, плотность которого ρ постоянна и зная, что плотность является отношением массы к объему, разность масс dm записывается как:

Подставляя момент инерции в интеграл, получаем:

Это общее выражение, действительное для трехмерного объекта, объем V и положение r которого являются функциями пространственных координат x, y и z. Обратите внимание, что, будучи постоянной, плотность находится вне интеграла.

Плотность ρ также известна как насыпная плотность, но если объект очень плоский, как лист, или очень тонкий и узкий, как стержень, можно использовать другие формы плотности, давайте посмотрим:

- Для очень тонкого листа следует использовать плотность σ, поверхностную плотность (масса на единицу площади) и dA - это разница площадей.

- И если это тонкий бар, где только длина имеет значение, то λ линейную плотность массы и дифференциальная длина используются, по отношению к оси, используемой в качестве ссылки.

В следующих примерах все объекты считаются жесткими (не деформируемыми) и имеют одинаковую плотность.

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его центр

Здесь мы собираемся вычислить момент инерции тонкого, жесткого, однородного стержня, длиной L и массой M относительно оси, проходящей через среду.

Во-первых, необходимо установить систему координат и построить фигуру соответствующей геометрии, например:

Рисунок 3. Геометрия для расчета момента инерции тонкого стержня относительно вертикальной оси, проходящей через его центр. Источник: Ф. Сапата.

Ось X вдоль стержня и ось Y были выбраны в качестве оси вращения. Процедура определения интеграла также требует выбора разницы масс на стержне, называемом dm, который имеет дифференциальную длину dx и расположен в произвольной позиции x относительно центра x = 0.

Согласно определению линейной плотности массы λ:

Поскольку плотность однородна, что верно для M и L, это также верно для dm и dx:

С другой стороны, элемент массы находится в позиции x, поэтому, подставляя эту геометрию в определение, мы получаем определенный интеграл, пределы которого являются концами стержня в соответствии с системой координат:

Подставляя линейную плотность λ = M / L:

Чтобы найти момент инерции стержня относительно другой оси вращения, например, той, которая проходит через один из его концов, вы можете использовать теорему Штейнера (см. Решенное упражнение в конце) или выполнить прямое вычисление, подобное показанному. здесь, но изменив геометрию соответствующим образом.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр

Очень тонкий диск незначительной толщины - это плоская фигура. Если масса равномерно распределена по всей поверхности области A, плотность массы σ равна:

Оба значения dm и dA соответствуют массе и площади кольца дифференциала, показанных на рисунке. Предположим, что вся сборка вращается вокруг оси y.

Вы можете представить себе, что диск состоит из множества концентрических колец радиуса r, каждое из которых имеет соответствующий момент инерции. Складывая вклады всех колец до достижения радиуса R, мы получим полный момент инерции диска.

Рис. 4. Геометрия для расчета момента инерции диска относительно осевой оси. Источник: Ф. Сапата.

Где M представляет собой всю массу диска. Площадь диска зависит от его радиуса r как:

Вывод по r:

Подставляя приведенное выше в определение I:

Подставляя σ = M / (π.R ² ), получаем:

Момент инерции твердого шара диаметром

Сферу радиуса R можно рассматривать как серию дисков, установленных друг на друга, где каждый диск бесконечно малой массы dm, радиуса r и толщины dz имеет момент инерции, определяемый следующим образом:

Чтобы найти этот дифференциал, мы просто взяли формулу из предыдущего раздела и заменили M и R на dm и r соответственно. Такой диск можно увидеть на фигуре 5.

Рис. 5. Геометрия для вычисления момента инерции твердой сферы радиуса R относительно оси, проходящей через диаметр. Источник: Ф. Сапата.

Суммируя все бесконечно малые моменты инерции уложенных друг на друга дисков, получается полный момент инерции сферы:

Что эквивалентно:

Чтобы решить интеграл, вам нужно выразить dm соответствующим образом. Как всегда достигается за счет плотности:

Объем дифференциального диска составляет:

Высота диска равна толщине dz, а площадь основания равна πr ² , поэтому:

А замена в предлагаемом интеграле будет выглядеть так:

Но перед интегрированием необходимо заметить, что r - радиус диска - зависит от z и R - радиуса сферы, как видно из рисунка 5. Используя теорему Пифагора:

Что приводит нас к:

Чтобы интегрировать по всей сфере, отметим, что z изменяется от –R до R, поэтому:

Зная, что ρ = M / V = ​​M /, окончательно получается после упрощения:

Момент инерции твердого цилиндра относительно осевой оси

Для этого объекта используется метод, аналогичный тому, который использовался для сферы, только на этот раз проще, если представить цилиндр состоящим из цилиндрических оболочек с радиусом r, толщиной dr и высотой H, как если бы они были слоями луковицы. ,

Рис. 6. Геометрия для расчета момента инерции твердого цилиндра радиуса R относительно осевой оси. Источник: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Том 1. Cengage.

Объем dV цилиндрического слоя равен:

Следовательно, масса снаряда составляет:

Это выражение подставляется в определение момента инерции:

Вышеприведенное уравнение показывает, что момент инерции цилиндра не зависит от его длины, а только от его массы и радиуса. Если бы L изменилось, момент инерции относительно осевой оси остался бы прежним. По этой причине I цилиндра совпадает с рассчитанным ранее тонким диском.

Момент инерции прямоугольного листа относительно оси, проходящей через его центр

Горизонтальная ось Y была выбрана в качестве оси вращения. На рисунке ниже показана геометрия, необходимая для выполнения интегрирования:

Рис. 7. Геометрия для расчета момента инерции прямоугольной пластины относительно оси, параллельной листу и проходящей через его центр. Источник: Ф. Сапата.

Элемент области, отмеченный красным, имеет прямоугольную форму. Его площадь равна основанию x высота, поэтому:

Следовательно, разница масс составляет:

Что касается расстояния от элемента площади до оси вращения, то это всегда z. Подставляем все это в интеграл момента инерции:

Теперь плотность поверхностной массы σ заменяется на:

И выглядит это точно так:

Обратите внимание, что это похоже на тонкий стержень.

Момент инерции квадратного листа относительно оси, проходящей через его центр

Для квадрата со стороной L в предыдущем выражении, действительном для прямоугольника, просто замените значение b значением L:

Моменты теорем инерции

Есть две особенно полезные теоремы для упрощения вычисления моментов инерции относительно других осей, которые в противном случае было бы трудно найти из-за отсутствия симметрии. Вот эти теоремы:

Теорема Штейнера

Также называемая теоремой о параллельных осях, она связывает момент инерции по отношению к одной оси с другой, проходящей через центр масс объекта, если оси параллельны. Чтобы применить его, необходимо знать расстояние D между обеими осями и, конечно, массу M объекта.

Пусть I _{z будет} моментом инерции объекта, вытянутым относительно оси z, I _CM момент инерции относительно оси, которая проходит через центр масс (CM) указанного объекта, тогда выполняется следующее:

Или в обозначениях следующего рисунка: I _{z '} = I _z + Md ²

Рисунок 8. Теорема Штейнера или параллельные оси. Источник: Wikimedia Commons. Джек Си

Теорема о перпендикулярных осях

Эта теорема применяется к плоским поверхностям и выглядит следующим образом: момент инерции плоского объекта вокруг оси, перпендикулярной ему, представляет собой сумму моментов инерции вокруг двух осей, перпендикулярных первой оси:

Рис. 9. Теорема о перпендикулярных осях. Источник: Ф. Сапата.

Если объект имеет такую ​​симметрию, что I _x и I _y равны, то верно, что:

Упражнение решено

Найдите момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, как показано на рисунке 1 (внизу и справа) и рисунке 10.

Рис. 10. Момент инерции однородного стержня вокруг оси, проходящей через один конец. Источник: Ф. Сапата.

Решение:

У нас уже есть момент инерции стержня вокруг оси, проходящей через его геометрический центр. Так как стержень однороден, его центр масс находится в этой точке, поэтому это будет наш I _CM для применения теоремы Штейнера.

Если длина стержня равна L, ось z находится на расстоянии D = L / 2, поэтому:

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 313-340
2. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 190-200.
3. Теорема о параллельной оси. Получено с: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Сервей, Р. 2018. Физика для науки и техники. Том 1. Cengage.
5. Севильский университет. Момент инерции сферических тел. Получено с: laplace.us.es.
6. Севильский университет. Момент инерции системы частиц. Получено с: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Теорема о параллельной оси. Получено с: en.wikipedia.org