НЕЯВНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ: КАК ОНИ РЕШАЮТСЯ И РЕШАЮТСЯ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Эти неявные производные инструменты , используемые в разностной технике применительно к функциям. Они применяются, когда обычными методами невозможно найти зависимую переменную, которая должна быть получена. Этот зазор выполняется как функция независимой переменной.

Например, в выражении 3xy ³ - 2y + xy ² = xy нельзя получить выражение, определяющее «y» как функцию «x». Таким образом, путем вывода дифференциального выражения можно получить dy / dx.

Как решаются неявные производные?

Чтобы решить неявную производную, мы начинаем с неявного выражения. Например: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Это уже было правильно решено, однако выполнение этого не является необходимым условием для получения производной y по x. Затем каждый из элементов выводится, соблюдая цепное правило для смешанных функций:

3xy ³ состоит из 2 переменных, поэтому d (3xy ³ ) будет рассматриваться как производная произведения функций.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Где элемент y 'известен как «y простое число» и представляет dy / dx

-2y Получается по закону KU = K.U '

d (-2y) = -2 года '

xy ² предполагает другой дифференциал, составленный из произведения функций

d (ху ² ) = y ² + 2xy y '

-xy обрабатывается гомологично

d (-xy) = -y - x y '

Их подставляют в равенство, зная, что производная нуля равна нулю.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Элементы, которые имеют член y ', сгруппированы по одну сторону от равенства

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Общий множитель y 'извлекается из правой части равенства

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Наконец, убирается член, умножающий y '. Таким образом получается выражение, соответствующее неявной производной y по x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Правило цепи

При неявном выводе всегда соблюдается цепное правило. Все дифференциальные выражения будут даны как функция независимой переменной X. Таким образом, каждая переменная θ, кроме X, должна включать член dθ / dx после получения.

Этот термин появится только в первой степени или с показателем степени, равным 1. Это качество полностью проясняет традиционные методы факторинга. Таким образом, можно получить выражение, определяющее дифференциал dθ / dx.

Цепное правило показывает прогрессивный характер процесса дифференциации или производного процесса. Где для каждой составной функции f мы имеем, что дифференциальное выражение f будет

Порядок работы

В каждой применяемой формуле или законе вывода необходимо учитывать порядок переменных. Критерии, связанные с независимой переменной, соблюдаются без изменения ее корреляции с зависимой переменной.

Связь зависимой переменной на момент вывода берется напрямую; За исключением того, что это будет рассматриваться как вторая функция, поэтому для смешанных функций применяется критерий цепного правила.

Это может быть развито в выражениях с более чем двумя переменными. По тем же принципам будут обозначены все дифференциалы, относящиеся к зависимым переменным.

Графически обрабатывается тот же критерий, который определяет производную. В то время как производная - это наклон касательной к кривой на плоскости, остальные дифференциалы, принадлежащие зависимым переменным (dy / dx, dz / dx), представляют собой плоскости, касательные к векторным телам, описываемым функциями нескольких переменных.

неявный

Говорят, что функция неявно определена, если выражение y = f (x) может быть представлено как функция с несколькими переменными F (x, y) = 0, пока F определено в плоскости R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy можно записать в виде 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Ввиду невозможности сделать явную функцию y = f (x).

история

Дифференциальное исчисление начали называть различными математическими исследователями примерно в семнадцатом веке. Впервые это было упомянуто благодаря вкладам Ньютона и Лейбница. Оба рассматривали дифференциальное исчисление с разных точек зрения, но сходились в своих результатах.

В то время как Ньютон сосредоточился на дифференциации как скорости или скорости изменения, подход Лейбница был более геометрическим. Можно сказать, что Ньютон атаковал гипотезы Аполлония Перге и Лейбница геометрические идеи Ферма.

Неявный вывод появляется сразу при рассмотрении дифференциальных и интегральных уравнений. Они распространили геометрическую концепцию Лейбница на R ³ и даже на многомерные пространства.

Приложения

Неявные производные используются в различных ситуациях. Они распространены в задачах обменного курса между связанными переменными, где, в зависимости от смысла исследования, переменные будут считаться зависимыми или независимыми.

У них также есть интересные геометрические приложения, например, в задачах отражения или тени на фигурах, форму которых можно моделировать математически.

Они часто используются в области экономики и техники, а также при различных исследованиях природных явлений и экспериментальных построек.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Определите неявное выражение, определяющее dy / dx

Каждый элемент выражения отличается

Установление цепного правила в каждом компетентном случае

Группируем по одну сторону равенства элементы, у которых есть dy / dx

Факторизуется с использованием общего множителя

Решается получить искомое выражение

Упражнение 2.

Определите неявное выражение, определяющее dy / dx

Выражение производных, которые будут выполнены

Неявное извлечение в соответствии с цепным правилом

Факторинг общих элементов

Группируя член dy / dx по одну сторону равенства

Общий коэффициент дифференциального элемента

Выделяем и получаем искомое выражение

Ссылки

1. Исчисление одной переменной. Рон Ларсон, Брюс Х. Эдвардс. Cengage Learning, 10 ноября 2008
2. Теорема о неявной функции: история, теория и приложения. Стивен Г. Кранц, Гарольд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 ноября. 2012
3. Многопараметрический анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декабря. 2010
4. Системная динамика: моделирование, моделирование и управление мехатронными системами. Дин К. Карнопп, Дональд Л. Марголис, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 марта 2012
5. Исчисление: математика и моделирование. Уильям Баулдри, Джозеф Р. Фидлер, Фрэнк Р. Джордано, Эд Лоди, Рик Витрей. Эддисон Уэсли Лонгман, 1 января 1999