- Свойства оснований
- Примеры баз
- Канонический базис в ℜ
- Канонический базис в ℜ
- Другие ортонормированные базисы в ℜ
- Решенные упражнения
- - Упражнение 1
- Решение
- - Упражнение 2.
- Решение
- Ссылки
Ортонормированный базис формируется с помощью векторов , перпендикулярных друг другу , и модуль которой также 1 (единичные векторы). Напомним, что база B в векторном пространстве V определяется как набор линейно независимых векторов, способных порождать указанное пространство.
В свою очередь, векторное пространство - это абстрактная математическая сущность, среди элементов которой есть векторы, обычно связанные с физическими величинами, такими как скорость, сила и смещение, а также с матрицами, полиномами и функциями.
Рис. 1. Ортонормированное основание на плоскости. Источник: Wikimedia Commons. Quartl.
У векторов есть три отличительных элемента: величина или модуль, направление и смысл. Ортонормированный базис особенно полезен для их представления и работы с ними, поскольку любой вектор, принадлежащий определенному векторному пространству V, может быть записан как линейная комбинация векторов, образующих ортонормированный базис.
Таким образом, аналитически выполняются операции между векторами, такие как сложение, вычитание и различные типы продуктов, определенные в указанном пространстве.
Среди наиболее широко используемых основ физики - база, образованная единичными векторами i , j и k, которые представляют три различных направления трехмерного пространства: высоту, ширину и глубину. Эти векторы также известны как единичные канонические векторы.
Если, с другой стороны, векторы работают в плоскости, двух из этих трех компонентов будет достаточно, а для одномерных векторов требуется только один.
Свойства оснований
1- База B - это наименьший возможный набор векторов, которые генерируют векторное пространство V.
2- Элементы B линейно независимы.
3- Любая база B векторного пространства V позволяет выразить все векторы V как его линейную комбинацию, и эта форма уникальна для каждого вектора. По этой причине B также называют генерирующей системой.
4- Одно и то же векторное пространство V может иметь разные основания.
Примеры баз
Вот несколько примеров ортонормированных базисов и базисов в целом:
Канонический базис в ℜ
Также называется естественной базой или стандартной базой n , где ℜ n - это n-мерное пространство, например трехмерное пространство - ℜ 3 . Значение n называется размерностью векторного пространства и обозначается как dim (V).
Все векторы, принадлежащие ℜ n , представлены упорядоченными n-объявлениями. Для пространства n канонический базис:
e 1 = <1,0,. , , , 0>; е 2 = <0,1,. , , , 0>; …… .. e n = <0,0,. , , , 1>
В этом примере мы использовали обозначение скобками или «скобками» и жирным шрифтом для единичных векторов e 1 , e 2 , e 3 …
Канонический базис в ℜ
Знакомые векторы i , j и k допускают такое же представление, и всех трех из них достаточно, чтобы представить векторы в ℜ 3 :
я = <1,0,0>; j = <0,1,0>; к = <0,0,1>
Это означает, что базу можно выразить так:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Чтобы убедиться, что они линейно независимы, определитель, образованный с их помощью, отличен от нуля и также равен 1:
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
Следовательно, i , j и k составляют систему образующих ℜ 3 .
Другие ортонормированные базисы в ℜ
Стандартная база, описанная в предыдущем разделе, не единственная ортонормированная база в § 3 . Вот, например, базы:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}
Можно показать, что эти базы ортонормированы, для этого мы помним условия, которые должны быть выполнены:
-Вектора, образующие основу, должны быть ортогональны друг другу.
-Каждый из них должен быть унитарным.
Мы можем проверить это, зная, что образованный ими определитель должен быть ненулевым и равным 1.
База B 1 - это в точности база цилиндрических координат ρ, φ и z, еще один способ выражения векторов в пространстве.
Рисунок 2. Цилиндрические координаты. Источник: Wikimedia Commons. Математический бафф.
Решенные упражнения
- Упражнение 1
Покажите, что основание B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} ортонормирован.
Решение
Чтобы показать, что векторы перпендикулярны друг другу, мы будем использовать скалярное произведение, также называемое внутренним или скалярным произведением двух векторов.
Пусть любые два вектора u и v , их скалярное произведение определяется как:
u • v = uv cosθ
Чтобы различать векторы их модулей, мы будем использовать жирный шрифт для первой и нормальных букв для второй. θ - это угол между u и v, поэтому, если они перпендикулярны, это означает, что θ = 90º и скалярное произведение равно нулю.
В качестве альтернативы, если векторы заданы в терминах их компонентов: u =x, u y , u z > y v =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
Таким образом, скалярные произведения между каждой парой векторов, соответственно:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
Для второго условия вычисляется модуль каждого вектора, который получается следующим образом:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
Таким образом, модули каждого вектора:
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0,1> │ = √ = 1
Следовательно, все три являются единичными векторами. Наконец, определитель, который они формируют, отличен от нуля и равен 1:
- Упражнение 2.
Запишите координаты вектора w = <2, 3,1> в терминах основания выше.
Решение
Для этого используется следующая теорема:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +… < w • v n > v n
Это означает, что мы можем записать вектор в базе B, используя коэффициенты < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n >, для которых мы должны вычислить указанные скалярные произведения:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
По полученным скалярным произведениям строится матрица, называемая координатной матрицей w.
Следовательно, координаты вектора w в базе B выражаются как:
B =
Матрица координат не является вектором, поскольку вектор не совпадает с его координатами. Это только набор чисел, которые служат для выражения вектора в данной базе, а не вектор как таковой. Они также зависят от выбранной базы.
Наконец, следуя теореме, вектор w будет выражен следующим образом :
ш = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
С: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <- 4/5, 3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}, то есть векторы базы B.
Ссылки
- Ларсон, Р. Основы линейной алгебры. Шестой. Издание. Cengage Learning.
- Ларсон, Р. 2006. Исчисление. Седьмой. Издание. Том 2. Макгроу Хилл.
- Салас, Дж. Линейная алгебра. Раздел 10. Ортонормированные базисы. Получено с: ocw.uc3m.es.
- Севильский университет. Цилиндрические координаты. Векторная база. Получено с: laplace.us.es.
- Wikipedia. Ортонормальная база. Получено с: es.wikipedia.org.