ОРТОНОРМИРОВАННАЯ ОСНОВА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Ортонормированный базис формируется с помощью векторов , перпендикулярных друг другу , и модуль которой также 1 (единичные векторы). Напомним, что база B в векторном пространстве V определяется как набор линейно независимых векторов, способных порождать указанное пространство.

В свою очередь, векторное пространство - это абстрактная математическая сущность, среди элементов которой есть векторы, обычно связанные с физическими величинами, такими как скорость, сила и смещение, а также с матрицами, полиномами и функциями.

Рис. 1. Ортонормированное основание на плоскости. Источник: Wikimedia Commons. Quartl.

У векторов есть три отличительных элемента: величина или модуль, направление и смысл. Ортонормированный базис особенно полезен для их представления и работы с ними, поскольку любой вектор, принадлежащий определенному векторному пространству V, может быть записан как линейная комбинация векторов, образующих ортонормированный базис.

Таким образом, аналитически выполняются операции между векторами, такие как сложение, вычитание и различные типы продуктов, определенные в указанном пространстве.

Среди наиболее широко используемых основ физики - база, образованная единичными векторами i , j и k, которые представляют три различных направления трехмерного пространства: высоту, ширину и глубину. Эти векторы также известны как единичные канонические векторы.

Если, с другой стороны, векторы работают в плоскости, двух из этих трех компонентов будет достаточно, а для одномерных векторов требуется только один.

Свойства оснований

1- База B - это наименьший возможный набор векторов, которые генерируют векторное пространство V.

2- Элементы B линейно независимы.

3- Любая база B векторного пространства V позволяет выразить все векторы V как его линейную комбинацию, и эта форма уникальна для каждого вектора. По этой причине B также называют генерирующей системой.

4- Одно и то же векторное пространство V может иметь разные основания.

Примеры баз

Вот несколько примеров ортонормированных базисов и базисов в целом:

Канонический базис в ℜ

Также называется естественной базой или стандартной базой ⁿ , где ℜ ⁿ - это n-мерное пространство, например трехмерное пространство - ℜ ³ . Значение n называется размерностью векторного пространства и обозначается как dim (V).

Все векторы, принадлежащие ℜ ⁿ , представлены упорядоченными n-объявлениями. Для пространства ⁿ канонический базис:

e ₁ = <1,0,. , , , 0>; е ₂ = <0,1,. , , , 0>; …… .. e _n = <0,0,. , , , 1>

В этом примере мы использовали обозначение скобками или «скобками» и жирным шрифтом для единичных векторов e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Канонический базис в ℜ

Знакомые векторы i , j и k допускают такое же представление, и всех трех из них достаточно, чтобы представить векторы в ℜ ³ :

я = <1,0,0>; j = <0,1,0>; к = <0,0,1>

Это означает, что базу можно выразить так:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Чтобы убедиться, что они линейно независимы, определитель, образованный с их помощью, отличен от нуля и также равен 1:

Также должна быть возможность записать любой вектор, принадлежащий ℜ ^3, как их линейную комбинацию. Например, сила, прямоугольные компоненты которой равны F _x = 4 Н, F _y = -7 Н и F _z = 0 Н, будет записана в векторной форме следующим образом:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Следовательно, i , j и k составляют систему образующих ℜ ³ .

Другие ортонормированные базисы в ℜ

Стандартная база, описанная в предыдущем разделе, не единственная ортонормированная база в § ³ . Вот, например, базы:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Можно показать, что эти базы ортонормированы, для этого мы помним условия, которые должны быть выполнены:

-Вектора, образующие основу, должны быть ортогональны друг другу.

-Каждый из них должен быть унитарным.

Мы можем проверить это, зная, что образованный ими определитель должен быть ненулевым и равным 1.

База B ₁ - это в точности база цилиндрических координат ρ, φ и z, еще один способ выражения векторов в пространстве.

Рисунок 2. Цилиндрические координаты. Источник: Wikimedia Commons. Математический бафф.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Покажите, что основание B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} ортонормирован.

Решение

Чтобы показать, что векторы перпендикулярны друг другу, мы будем использовать скалярное произведение, также называемое внутренним или скалярным произведением двух векторов.

Пусть любые два вектора u и v , их скалярное произведение определяется как:

u • v = uv cosθ

Чтобы различать векторы их модулей, мы будем использовать жирный шрифт для первой и нормальных букв для второй. θ - это угол между u и v, поэтому, если они перпендикулярны, это означает, что θ = 90º и скалярное произведение равно нулю.

В качестве альтернативы, если векторы заданы в терминах их компонентов: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, скалярное произведение обоих, которое является коммутативным, вычисляется следующим образом:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Таким образом, скалярные произведения между каждой парой векторов, соответственно:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Для второго условия вычисляется модуль каждого вектора, который получается следующим образом:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Таким образом, модули каждого вектора:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Следовательно, все три являются единичными векторами. Наконец, определитель, который они формируют, отличен от нуля и равен 1:

- Упражнение 2.

Запишите координаты вектора w = <2, 3,1> в терминах основания выше.

Решение

Для этого используется следующая теорема:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Это означает, что мы можем записать вектор в базе B, используя коэффициенты < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, для которых мы должны вычислить указанные скалярные произведения:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

По полученным скалярным произведениям строится матрица, называемая координатной матрицей w.

Следовательно, координаты вектора w в базе B выражаются как:

_B =

Матрица координат не является вектором, поскольку вектор не совпадает с его координатами. Это только набор чисел, которые служат для выражения вектора в данной базе, а не вектор как таковой. Они также зависят от выбранной базы.

Наконец, следуя теореме, вектор w будет выражен следующим образом :

ш = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

С: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, то есть векторы базы B.

Ссылки

1. Ларсон, Р. Основы линейной алгебры. Шестой. Издание. Cengage Learning.
2. Ларсон, Р. 2006. Исчисление. Седьмой. Издание. Том 2. Макгроу Хилл.
3. Салас, Дж. Линейная алгебра. Раздел 10. Ортонормированные базисы. Получено с: ocw.uc3m.es.
4. Севильский университет. Цилиндрические координаты. Векторная база. Получено с: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ортонормальная база. Получено с: es.wikipedia.org.