СРЕДНЯЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ФОРМУЛЫ, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2024

Средняя угловая скорость вращения определяется как угол повернуты в единицу времени радиус - вектора точки , которая описывает круговое движение. Лопасти потолочного вентилятора (такого как показанный на рисунке 1) движутся по кругу, и их средняя угловая скорость вращения вычисляется путем деления отношения на угол поворота и время, в течение которого этот угол был пройден.

Правила, которым следует вращательное движение, в чем-то похожи на известные правила для поступательного движения. Пройденное расстояние также можно измерить в метрах, однако угловые величины особенно важны, поскольку они значительно облегчают описание движения.

Рисунок 1. Лопасти вентилятора имеют угловую скорость. Источник: Pixabay

Как правило, для угловых величин используются греческие буквы, а для соответствующих линейных величин - латинские буквы.

Определение и формулы

На рисунке 2 показано движение точки по круговой траектории c. Положение P точки соответствует моменту t, а угловое положение, соответствующее этому моменту, равно ϕ.

С момента t истекает период времени Δt. В этот период новое положение точки - P ', а угловое положение увеличилось на угол Δϕ.

Рисунок 2. Круговое движение точки. Источник: самодельный

Средняя угловая скорость ω - это угол, пройденный за единицу времени, так что частное Δϕ / Δt будет представлять среднюю угловую скорость между временами t и t + Δt:

Поскольку угол измеряется в радианах, а время - в секундах, единицей измерения средней угловой скорости является рад / с. Если мы хотим вычислить угловую скорость как раз в момент t, то нам нужно будет вычислить отношение Δϕ / Δt, когда Δt ➡0.

Равномерное вращение

Вращательное движение является равномерным, если в любой наблюдаемый момент пройденный угол одинаков за тот же период времени. Если вращение равномерное, то угловая скорость в любой момент совпадает со средней угловой скоростью.

При равномерном вращательном движении время, за которое совершается один полный оборот, называется периодом и обозначается T.

Кроме того, при полном повороте пройденный угол равен 2π, поэтому при равномерном вращении угловая скорость ω связана с периодом T по следующей формуле:

Частота f равномерного вращения определяется как отношение количества витков к времени, затраченному на их прохождение, то есть, если N витков сделано за период времени Δt, то частота будет:

f = N / Δt

Поскольку один оборот (N = 1) проходит за время T (период), получается следующее соотношение:

f = 1 / T

То есть при равномерном вращении угловая скорость связана с частотой соотношением:

ω = 2π ・ f

Связь между угловой скоростью и линейной скоростью

Линейная скорость v - это отношение пройденного расстояния и времени, затраченного на его прохождение. На рисунке 2 пройденное расстояние - это длина дуги Δs.

Дуга Δs пропорциональна пройденному углу Δϕ и радиусу r, при этом выполняется следующее соотношение:

Δs = r ・ Δϕ

При условии, что Δϕ измеряется в радианах.

Если разделить предыдущее выражение на промежуток времени Δt, мы получим:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Частное первого члена - это линейная скорость, а второе - средняя угловая скорость:

v = r ・ ω

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Наконечники лопастей потолочного вентилятора, показанные на рис. 1, движутся со скоростью 5 м / с, а радиус лопастей составляет 40 см.

Используя эти данные, рассчитайте: i) среднюю угловую скорость колеса, ii) количество оборотов, которые колесо делает за одну секунду, iii) период в секундах.

Решение

i) Линейная скорость v = 5 м / с.

Радиус r = 0,40 м.

Из зависимости между линейной скоростью и угловой скоростью мы решаем последнее:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 м / с) / (0,40 м) = 12,57 рад / с

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 рад / с) / (2π рад) = 2 об / с

iii) T = 1 / f = 1 / (2 об / с) = 0,5 с для каждого поворота.

-Упражнение 2.

Игрушечная коляска движется по круговой дорожке радиусом 2 м. В 0s его угловое положение равно 0 рад, но после времени t его угловое положение равно

φ (t) = 2 ・ t.

С этими данными

i) Рассчитайте среднюю угловую скорость в следующие интервалы времени; ; и, наконец, в провале.

ii) По результатам части i) Что можно сказать о движении?

iii) Определите среднюю линейную скорость за тот же период времени из части i)

iv) Найдите угловую скорость и линейную скорость для любого момента.

Решение

i) Средняя угловая скорость определяется по следующей формуле:

Мы переходим к вычислению пройденного угла и времени, прошедшего в каждом интервале.

Интервал 1: Δϕ = ϕ (0,5 с) - ϕ (0,0 с) = 2 (рад / с) * 0,5 с - 2 (рад / с) * 0,0 с = 1,0 рад

Δt = 0,5 с - 0,0 с = 0,5 с

ω = Δϕ / Δt = 1,0рад / 0,5 с = 2,0 рад / с

Интервал 2: Δϕ = ϕ (1,0 с) - ϕ (0,5 с) = 2 (рад / с) * 1,0 с - 2 (рад / с) * 0,5 с = 1,0 рад

Δt = 1,0 с - 0,5 с = 0,5 с

ω = Δϕ / Δt = 1,0рад / 0,5 с = 2,0 рад / с

Интервал 3: Δϕ = ϕ (1,5 с) - ϕ (1,0 с) = 2 (рад / с) * 1,5 с - 2 (рад / с) * 1,0 с = 1,0 рад

Δt = 1,5 с - 1,0 с = 0,5 с

ω = Δϕ / Δt = 1,0рад / 0,5 с = 2,0 рад / с

Интервал 4: Δϕ = ϕ (1,5 с) - ϕ (0,0 с) = 2 (рад / с) * 1,5 с - 2 (рад / с) * 0,0 с = 3,0 рад

Δt = 1,5 с - 0,0 с = 1,5 с

ω = Δϕ / Δt = 3,0рад / 1,5 с = 2,0 рад / с

ii) Принимая во внимание предыдущие результаты, в которых средняя угловая скорость вычислялась в разные интервалы времени, всегда получая один и тот же результат, это, кажется, указывает на то, что это равномерное круговое движение. Однако эти результаты неубедительны.

Чтобы убедиться в этом, необходимо вычислить среднюю угловую скорость для произвольного интервала: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 рад / с

Это означает, что детская коляска имеет постоянную среднюю угловую скорость 2 рад / с в любой рассматриваемый период времени. Но вы можете пойти дальше, если вычислите мгновенную угловую скорость:

Это интерпретируется как то, что игрушечная машинка всегда имеет постоянную угловую скорость = 2 рад / с.

Ссылки

1. Джанколи, Д. Физика. Принципы с приложениями. 6-е издание. Прентис Холл. 30-45.
2. Киркпатрик, Л. 2007. Физика: взгляд на мир. 6 ^ta Редактирование сокращено. Cengage Learning. 117.
3. Резник, Р. (1999). Физический. Том 1. Издание третье на испанском языке. Мексика. Compañía Editor Continental SA de CV 33-52.
4. Сервей, Р., Джуэтт, Дж. (2008). Физика для науки и техники. Том 1. 7-е. Издание. Мексика. Учебные редакторы Cengage. 32-55.
5. Wikipedia. Угловая скорость. Получено с: wikipedia.com